本文是“概率论与数理统计”系列的第 06 章，主题为“数理统计的基本概念”。

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样本数字特征

(1) 样本均值 \(\overline{X}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i\).

(2) 样本方差 \(S^2=\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\),

样本标准差 \(S=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}\).

样本数字特征的性质

(1) \(E(\overline{X})=\mu,D(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}\).

(2) \(E(S^2)=\sigma^2,D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}\).

\(\chi^2\)分布

\(X_i\)相互独立, \(X_i\sim N(0,1)\), 则随机变量
\[ \chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2 \]
服从自由度(或参数)为\(n\)的\(\chi^2\)分布\(\chi^2\sim\chi^2(n)\).

(1) \(E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n\).

(2) \(\chi_1^2\sim\chi^2(n_1),\chi_2^2\sim\chi^2(n_2),\chi_1^2\)和\(\chi_2^2\)相互独立\(\Rightarrow\chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1+n_2)\).

\(t\)分布

\(X,Y\)独立, \(X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)\), 则随机变量
\[ T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \]
服从自由度为\(n\)的\(t\)分布\(T\sim t(n)\).

\(t\)分布的概率密度是偶函数.

\(F\)分布

\(X,Y\)独立, \(X\sim\chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2)\), 则随机变量
\[ F=\frac{X/n_1}{Y/n_2} \]
服从自由度为\((n_1,n_2)\)的\(F\)分布\(F\sim F(n_1,n_2)\).

(1) \(F\sim F(n_1,n_2)\Rightarrow\dfrac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)\).

(2) \(X\sim t(n)\Rightarrow X^2\sim F(1,n)\).

一个正态总体\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)的抽样分布

(1) \(\overline{X}\sim N\left( \mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right) ,U=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\).

(2) \(\overline{X}\)与\(S^2\)相互独立, 且\(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\).

(3) \(T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\).

(4) \(\chi^2=\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)\).

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