本文是“概率论与数理统计”系列的第 05 章，主题为“大数定律与中心极限定理”。

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切比雪夫不等式
\[ P\{|X-E(X)|\geqslant\varepsilon\}\leqslant\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \]

切比雪夫大数定律

\(X_i\)不相关, 期望存在, 方差有界, 则有
\[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \]

辛钦大数定律

\(X_i\)独立同分布, 期望存在, 则有
\[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu \]

列维-林德伯格中心极限定理

\(X_i\)独立同分布, 期望、方差存在, 则有
\[ \sum_{i=1}^{n}X_i\sim N(n\mu,n\sigma^2) \]

或者
\[ \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1) \]

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