本文是“概率论与数理统计”系列的第 04 章，主题为“随机变量的数字特征”。

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随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)的数学期望
\[ E(Y)=E[g(X)]=\begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k & \text{离散型}\\[12pt] \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\mathrm{d}x & \text{连续型} \end{cases} \]

随机变量\((X,Y)\)的函数\(Z=g(X,Y)\)的数学期望
\[ E(Z)=E[g(X,Y)]=\begin{cases} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij} & \text{离散型}\\[12pt] \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y & \text{连续型} \end{cases} \]

数学期望就是“取的值乘以相应的概率”.

数学期望的性质

(1) \(E(C)=C\).

(2) \(E(CX)=CE(X)\).

(3) \(E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)\).

(4) \(E(XY)=E(X)E(Y)\Leftrightarrow\)\(X\)与\(Y\)不相关.

随机变量\(X\)的方差
\[ \begin{aligned} D(X)&=E\{[X-E(X)]^2\}\\ &=E(X^2)-[E(X)]^2 \end{aligned} \]

\(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}\)为随机变量\(X\)的标准差/均方差.

方差的性质

(1) \(D(C)=0\), 但由\(D(X)=0\)得不到\(X\)为常数, 而应当说\(X\)取常数以概率1成立.

(2) \(D(aX+b)=a^2D(X)\).

(3) \(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\Leftrightarrow\)\(X\)与\(Y\)不相关.

常用随机变量的数学期望和方差

(1) 二项分布\(X\sim B(n,p)\)

\(E(X)=np,D(X)=np(1-p)\).

(2) 泊松分布\(X\sim P(\lambda)\)

\(E(X)=\lambda,D(X)=\lambda\).

(3) 均匀分布\(X\sim U(a,b)\)

\(E(X)=\dfrac{a+b}{2},D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\).

(4) 指数分布\(X\sim E(\lambda)\)

\(E(X)=\dfrac{1}{\lambda},D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\).

(5) 正态分布\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

\(E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2\).

随机变量\(X\)的\(k\)阶矩
\[ E(X^k),k=1,2,\cdots \]

随机变量\(X\)的\(k\)阶中心矩
\[ E\{[X-E(X)]^k\},k=2,3,\cdots \]

随机变量\(X\)和\(Y\)的\(k+l\)阶混合矩
\[ E(X^kY^l),k,l=1,2,\cdots \]

随机变量\(X\)和\(Y\)的\(k+l\)阶混合中心矩
\[ E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\},k,l=1,2,\cdots \]

随机变量\(X\)和\(Y\)的协方差
\[ \mathrm{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} \]

协方差的性质

(1) \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\), 当\(X=Y\)时, \(\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)\).

(2) \(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\mathrm{Cov}(X,Y)\).

(3) \(\mathrm{Cov}(aX,bY)=ab\mathrm{Cov}(X,Y)\).

(4) \(\mathrm{Cov}(X_1+X_2,Y)=\mathrm{Cov}(X_1,Y)+\mathrm{Cov}(X_2,Y)\).

(5) \(\mathrm{Cov}(X,C)=0\).

随机变量\(X\)和\(Y\)的相关系数
\[ \rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} \]

(1) \(|\rho_{XY}|\leqslant1\).

(2) \(D(X)D(Y)=0\Rightarrow\rho_{XY}=0\).

(3) \(\rho_{XY}=0\Leftrightarrow X\)和\(Y\)不相关.

(4) 随机变量\(X\)和\(Y\)相互独立\(\Rightarrow X\)和\(Y\)不相关; 但由\(X\)和\(Y\)不相关\(\nRightarrow X\)和\(Y\)相互独立.

(5) 对二维正态随机变量\((X,Y),X\)和\(Y\)相互独立\(\Leftrightarrow X\)和\(Y\)不相关.

(6) \(|\rho_{XY}|=1\Leftrightarrow\)存在\(a,b\), 其中\(a\neq0\), 使得\(P\{Y=aX+b\}=1\).

推论: 若\(Y=aX+b\), 则有\[ \rho_{XY}=\begin{cases} \dfrac{a}{|a|} & a\neq0\\[2pt] 0 & a=0 \end{cases} \].

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