本文是“概率论与数理统计”系列的第 03 章，主题为“多维随机变量及其分布”。

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二维随机变量\((X,Y)\)的分布函数
\[ F(x,y)=P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\},-\infty<x<\infty,-\infty<y<+\infty \]

(1) \(F(x,y)\)关于\(x\)和关于\(y\)均单调非减.

(2) \(F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1\).

(3) \(F(x,y)\)关于\(x\)和关于\(y\)是右连续的.

(4) \(P\{a<X\leqslant b,c<Y\leqslant d\}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,b)+F(a,c)\) (正定性).

二维随机变量\((X,Y)\)关于\(X\)和关于\(Y\)的边缘分布函数
\[ F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y<+\infty\}=F(x,+\infty) \]
\[ F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{X<+\infty,Y\leqslant y\}=F(+\infty,y) \]

随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立
\[ P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X\leqslant x\}P\{Y\leqslant y\}\Rightarrow F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \]

(1) 离散型随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立的充要条件
\[ p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j} \]

在离散的\((X,Y)\)中, \(X\)与\(Y\)相互独立\(\Leftrightarrow\)分布律行与行之间成比例, 列与列之间成比例.

(2) 连续型随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立的充要条件
\[ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \]

\((X,Y)\)服从区域\(G\)上的均匀分布
\[ f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{1}{A} & (x,y)\in G\\[2pt] 0 & \text{其他} \end{cases} \]

其中\(A\)是区域\(G\)的面积, \(P\{(x,y)\in D\}=\dfrac{S_D}{S_G}\) (面积之比).

\((X,Y)\)服从参数为\(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2\)和\(\rho\)的二维正态分布\((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)\)
\[ f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right] } \]

(1) 由\((X,Y)\)正态可推\(X\)正态, \(Y\)正态, 但由\(X\)正态, \(Y\)正态不能得到\((X,Y)\)正态.

\((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)\Rightarrow X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\).

(2) \(X\)正态, \(Y\)正态且相互独立\(\Leftrightarrow\)\((X,Y)\)正态且\(\rho=0\).

(3) \((X,Y)\)正态\(\Leftrightarrow\)\((aX+bY,cX+dY)\)正态, 当\[ \left| \begin{array}{cc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right| \neq0 \].

(4) \(aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+2ab\sigma_1\sigma_2\rho+b^2\sigma_2^2)\).

两个随机变量函数\(Z=g(X,Y)\)的分布(\(X,Y\)均为连续型随机变量)
\[ \begin{aligned} F_Z(z)&=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}\\ &=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned} \]

特别当\(Z=X+Y\)时,
\[ \begin{aligned} F_Z(z)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}y\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}y\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)\mathrm{d}x \end{aligned} \]

对应的概率密度为
\[ \begin{aligned} f_Z(z)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)\mathrm{d}y \end{aligned} \]

注意\(Z=g(X,Y)\)是一维随机变量, 其分布函数只可能是一元函数.

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