本文是“概率论与数理统计”系列的第 02 章，主题为“随机变量及其分布”。

上一篇：概率论与数理统计 Ch01：随机事件与概率 · 下一篇：概率论与数理统计 Ch03：多维随机变量及其分布

随机变量\(X\)的分布函数
\[ F(x)=P\{X\leqslant x\},-\infty<x<\infty \]

(1) \(F(x)\)单调非减.

(2) \(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\).

(3) \(F(x)\)是右连续的.

离散型随机变量\(X\)的分布律
\[ P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots \]

(1) \(p_k\geqslant0,k=1,2,\cdots\).

(2) \(\displaystyle\sum_kp_k=1\).

连续型随机变量\(X\)的分布函数
\[ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t,-\infty<x<+\infty \]

\(f(x)\)称为\(X\)的概率密度.

(1) \(f(x)\geqslant0\).

(2) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1\).

(3) \(P\{x_1<X\leqslant x_2\}=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)\mathrm{d}t\) (哪里求概率, 哪里求积分).

(4) 在\(f(x)\)的连续点处有\(F'(x)=f(x)\).

\(X\)服从参数为\(n,p\)的二项分布\(X\sim B(n,p)\)
\[ P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n \]

\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布\(X\sim P(\lambda)\)
\[ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots \]

\(X\)服从区间\([a,b]\)上的均匀分布\(X\sim U[a,b]\)
\[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & a\leqslant x\leqslant b\\[2pt] 0 & \text{其他} \end{cases} \]

\(P\{c\leqslant X\leqslant d\}=\dfrac{d-c}{b-a}\) (长度之比).

\(X\)服从参数为\(\lambda\)的指数分布\(X\sim E(\lambda)\)
\[ f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x>0\\ 0 & x\leqslant0 \end{cases} \]

(1) \(P\{X>t\}=e^{-\lambda t}\).

(2) \(P\{X>t+s|X>s\}=P\{X>t\}\) (无记忆性).

\(X\)服从参数为\(\mu,\sigma\)的正态分布\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty \]

(1) \(F(x)=\Phi\left( \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right) ,\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\) (标准化).

(2) \(f(x)\)关于\(x=\mu\)对称, \(\varphi(x)\)是偶函数.

(3) \(\Phi(-x)=1-\Phi(x),\Phi(0)=\dfrac{1}{2}\).

(4) \(X\sim N(0,1)\Rightarrow P\{|X|\leqslant a\}=2\Phi(a)-1\).

(5) 分布\(\Phi\left( \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\)的期望必为\(\mu\), 密度\(\dfrac{1}{\sigma}\varphi\left( \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\)的期望必为\(\mu,\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi\left( \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right) \mathrm{d}x=\mu\sigma\).

连续型随机变量的函数分布

(定义法) 先求\(Y\)的分布函数
\[ F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{g(X)\leqslant y\}=\int_{g(x)\leqslant y}f_X(x)\mathrm{d}x \]

然后\(f_Y(y)=F'_Y(y)\).

对任一连续型随机变量\(X\)其分布函数为\(F(x)\), 则\(Y=F(X)\)必定服从\(U(0,1)\).

---

上一篇：概率论与数理统计 Ch01：随机事件与概率 · 下一篇：概率论与数理统计 Ch03：多维随机变量及其分布