本文是“概率论与数理统计”系列的第 07 章，主题为“参数估计与假设检验”。

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参数估计

无偏估计量

\(E(\hat{\theta})=\theta\), 则\(\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是未知参数\(\theta\)的无偏估计量.

矩估计法

定义 样本矩\(=\)总体矩.

设总体\(X\)的分布含有未知参数\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\), 总体矩\(\alpha_l=E(X^l)\), 样本矩\(A_l=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i^l\). 令
\[ \alpha_l=A_l,l=1,2,\cdots,k \text{(方程数=未知参数个数)} \]

从方程组中解得\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\)即为参数的矩估计量.

最大似然估计法

定义 似然函数取最大值.

似然函数
\[ L(\theta)=\begin{cases} \displaystyle\prod_{i=1}^{n}p(x_i;\theta) & \text{离散型}\\[12pt] \displaystyle\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta) & \text{连续型} \end{cases} \]

假设检验

假设检验: 根据样本, 按照一定规则判断所做假设\(H_0\)的真伪, 并作出接受还是拒绝\(H_0\)的决定.

两类错误

(1) 第一类错误: 拒绝实际真的假设\(H_0\) (弃真).

(2) 第二类错误: 接受实际不真的假设\(H_0\) (纳伪).

显著性检验

1. 显著性水平: 在假设检验中允许犯第一类错误的概率\(\alpha\).

2. 显著性检验: 只控制第一类错误概率\(\alpha\)的统计检验.

3. 显著性检验的一般步骤

(1) 根据问题要求提出原假设\(H_0\).

(2) 给出显著性水平\(\alpha\).

(3) 确定检验统计量及拒绝域形式.

(4) 按犯第一类错误的概率等于\(\alpha\)求出拒绝域\(W\).

(5) 根据样本值计算检验统计量\(T\)的观测值\(t\), 当\(t\in W\)时, 拒绝原假设\(H_0\). 否则接受原假设\(H_0\).

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