本文整理考研数学中常用的不等式、公式与补充结论。

常用不等式

(1) \(\ln(1+x)<\sin x<x<\tan x,x\in\left( 0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)

(2) \(\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,x\in(0,+\infty)\)

(3) \(\sin x\geqslant\sin^2x=1-\cos^2x\geqslant1-\cos x,x\in\left( 0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},x>0\)

均值不等式
\[ \text{调和平均数}\leqslant\text{几何平均数}\leqslant\text{算术平均数}\leqslant\text{平方平均数} \]

(1) 调和平均数
\[ H_n=\frac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}} \]

(2) 几何平均数
\[ G_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} \]

(3) 算术平均数
\[ A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \]

(4) 平方平均数
\[ Q_n=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}} \]

海伦公式

边长分别为\(a,b,c\)的三角形面积
\[ S_\Delta=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

其中
\[ p=\frac{a+b+c}{2} \]

数学归纳法

(一) 第一数学归纳法

(1) 验证\(n=1\)时, 命题\(f_n\)正确.

(2) 假设\(n=k\)时, 命题\(f_n\)正确.

(3) 证明\(n=k+1\)时, 命题\(f_n\)正确.

(二) 第二数学归纳法

(1) 验证\(n=1\)和\(n=2\)时, 命题\(f_n\)都正确.

(2) 假设\(n<k\)时, 命题\(f_n\)正确.

(3) 证明\(n=k\)时, 命题\(f_n\)正确.

概率论常用积分

(1) \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^ne^{-x}\mathrm{d}x=n!\)

(2) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}\)

(扩展) \(\Gamma\)函数

定义: \(\Gamma(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm{d}x\).

性质: (1) \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\) (2) \(\Gamma(n+1)=n!\) (3) \(\Gamma\left( \dfrac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi}\)

常用\(\max\)、\(\min\)总结
\[ \begin{aligned} U=\max\{X,Y\}&=\frac{X+Y+|X-Y|}{2}\\ V=\min\{X,Y\}&=\frac{X+Y-|X-Y|}{2} \end{aligned} \]

则
\[ \begin{aligned} UV&=XY\\ U+V&=X+Y\\ U-Y&=|X-Y| \end{aligned} \]