本文是“高等数学”系列的第 01 章，主题为“函数、极限与连续”。

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证明\(f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)是奇函数
\[ f(-x)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})=\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \]

(1) 设\(f(x)\)连续且以\(T\)为周期, 则

\(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\)是以\(T\)为周期的周期函数\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle\int_{0}^{T}f(x)\mathrm{d}x=0\).

(2) 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零.

(1) \(f'(x_0)>0\Rightarrow\)存在\(\delta>0\),

当\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)时, \(f(x)<f(x_0)\); 当\(x\in(x_0,x_0+\delta)\)时, \(f(x)>f(x_0)\).

(2) \(f'(x_0)>0\nRightarrow\)一定存在\(x_0\)的某邻域, 在此邻域内\(f(x)\)单调增.

(1) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\Rightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=|a|\), 但反之不成立.

(2) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0\)的充分必要条件是\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0\).

存在 \(+/-\)不存在\(=\)不存在

不存在\(+/-\)不存在\(=\)不一定

存在 \(\times/\div\)不存在\(=\)不一定

不存在\(\times/\div\)不存在\(=\)不一定

(可引申到: 连续、导数、级数)

常用的基本极限

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) ^x=e\) \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) ^x=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a (a>0)\) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1\) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1\)

\[ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m} & n=m\\[2pt] 0 & n<m\\ \infty & n>m \end{cases} \]

\[ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^n=\begin{cases} 0 & |x|<1\\ \infty & |x|>1\\ 1 & x=1\\ \text{不存在} & x=-1 \end{cases} \]

\[ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}e^{nx}=\begin{cases} 0 & x<0\\ +\infty & x>0\\ 1 & x=0 \end{cases} \]

二级结论

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}x^m(\ln x)^n=0\), 其中\(m\)、\(n\)为自然数.

\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant m}\{a_i\}\), 其中\(a_i>0(i=1,2,\cdots,m)\).

“\(1^\infty\)”型极限

\(\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty,\lim\alpha(x)\beta(x)=A\Rightarrow\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^A\).

常用等价无穷小

(1) 当\(x\rightarrow0\)时,

\(x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim e^x-1\)

\((1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\) \(1-\cos^\alpha x\sim\dfrac{\alpha}{2}x^2\) \(a^x-1\sim x\ln\alpha\)

\(x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}\) \(\arcsin x-x\sim\dfrac{x^3}{6}\) \(x-\ln(1+x)\sim\dfrac{x^2}{2}\)

\(\tan x-x\sim\dfrac{x^3}{3}\) \(x-\arctan x\sim\dfrac{x^3}{3}\).

(2) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\Rightarrow\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\sim\displaystyle\int_{0}^{x}g(t)\mathrm{d}t\).

(3) \(\alpha\rightarrow0,\alpha(x)\beta(x)\rightarrow0\Rightarrow(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim\alpha(x)\beta(x)\).

等价无穷小代换的原则

(1) 乘除关系可以换.

(2) 加减关系换完后不能为零.

\(\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1\Rightarrow\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1\).

\(\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1\Rightarrow\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1\).

\(n\)项和的数列极限

主体部分: 分母中不随项的变化而变化的部分.

变化部分: 分母中随项的变化而变化的部分.

方法选取的一般原则:

(1) 当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级\(\Rightarrow\)夹逼原理.

(2) 当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级\(\Rightarrow\)定积分定义.

定积分定义法求极限: 先提“可爱因子”\(\dfrac{1}{n}\), 哪里变, 哪里记作变量, 变量的变化范围即积分区间.
\[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right) =\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x \]

递推关系\(x_1=a,x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,\cdots)\)定义的数列

(一) 当数列\(\{x_n\}\)具有单调性\(\Rightarrow\)单调有界准则证数列\(\{x_n\}\)收敛, 令\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)求出极限\(A\).

有界性判定的常用方法: 数学归纳法.

单调性判定的常用方法:

(1) \(x_{n+1}-x_n\geqslant0(\leqslant0)\Rightarrow\{x_n\}\)单调增(单调减).

(2) 设\(\{x_n\}\)不变号,

i. \(x_n>0,\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\geqslant1(\leqslant1)\Rightarrow\{x_n\}\)单调增(单调减);

ii. \(x_n<0,\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\geqslant1(\leqslant1)\Rightarrow\{x_n\}\)单调减(单调增).

(3) 设\(\{x_n\}\)由\(x_1=a,x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,\cdots),x_n\in I\)所确定,

i. \(f(x)\)在\(I\)上单调增, 则\(x_1\leqslant x_2\Rightarrow\{x_n\}\)单调增; \(x_1\geqslant x_2\Rightarrow\{x_n\}\)单调减;

ii. \(f(x)\)在\(I\)上单调减, 则\(\{x_n\}\)不单调.

(二) 当数列\(\{x_n\}\)不具有单调性\(\Rightarrow\)令\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)求出极限\(A\), 再证\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\).

证明\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)的核心是利用\(x_n=f(x_{n-1})\)证明一个递推不等式
\[ |x_n-A|\leqslant k|x_{n-1}-A| \]

这里\(0<k<1\).

(扩展) 利用拉格朗日定理进行放缩, 得到递推不等式:

i. 根据\(x_n=f(x_{n-1})\)写出函数\(f(x)\);

ii. 对\(f(x)\)进行求导, 证明\(|f'(x)|\leqslant k(0<k<1)\);

iii. 验证\(f(A)=A\)成立;

iv. \(|x_n-A|=|f(x_{n-1})-f(A)|\leqslant k|x_{n-1}-A|\).

\(f(x)\)是\(m\)阶无穷小, \(\varphi(x)\)是\(n\)阶无穷小\(\Rightarrow\)\(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t\)是\(n(m+1)\)阶无穷小.

左、右连续的概念

若\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)\), 则\(f(x)\)在\(x_0\)处左连续;

若\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0)\), 则\(f(x)\)在\(x_0\)处右连续.

间断点的分类

(1) 第一类间断点 左、右极限均存在的间断点

可去间断点 左、右极限存在且相等的间断点;

跳跃间断点 左、右极限都存在但不相等的间断点.

(2) 第二类间断点 左、右极限中至少有一个不存在的间断点

无穷间断点 左、右极限中至少一个为无穷;

振荡间断点 如\(x=0\)为\(f(x)=\sin\dfrac{1}{x}\)的振荡间断点.

闭区间上连续函数的性质

(1) 有界性: 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 则\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界.

(2) 最值性: 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 则\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有最大值和最小值.

(3) 介值性: 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 且\(f(a)\neq f(b)\), 则对\(f(a)\)与\(f(b)\)之间任一数\(C\), 至少存在一个\(\xi\in(a,b)\), 使得\(f(\xi)=C\).

推论: 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 则\(f(x)\)在\([a,b]\)可取得介于最小值\(m\)与最大值\(M\)之间的任何值.

(4) 零点定理: 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 且\(f(a)\cdot f(b)<0\), 则必存在\(\xi\in(a,b)\), 使\(f(\xi)=0\).

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