离散时间信号处理 Ch11：离散希尔伯特变换

文章发布时间:

2026-07-23

最后更新时间:

2026-07-24

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本文是“离散时间信号处理”系列的第 11 章，主题为“离散希尔伯特变换”。

上一篇：利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析

离散希尔伯特变换

因果序列傅里叶变换实部和虚部的充分性

任何序列都可以表示成一个偶序列和一个奇序列之和, 即
\[ x[n]=x_e[n]+x_o[n] \]

其中
\[ x_e[n]=\frac{x[n]+x[-n]}{2} \]
\[ x_o[n]=\frac{x[n]-x[-n]}{2} \]

若$x[n]$为因果的, 则可以从$x_e[n]$或$x_o[n]$中恢复$x[n]$, 即
\[ x[n]=2x_e[n]u[n]-x_e[0]\delta[n] \]
\[ x[n]=2x_o[n]u[n]+x[0]\delta[n] \]

实因果序列的偶部和奇部

$x[n]$的傅里叶变换可表示为
\[ X(e^{j\omega})=X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega}) \]

其中$X_R(e^{j\omega})$和$X_I(e^{j\omega})$分别是$X(e^{j\omega})$的实部和虚部, 根据傅里叶变换的对称性可得

序列傅里叶变换

$x(n)$ $X(e^{j\omega})$
$x_e(n)$ $X_R(e^{j\omega})$
$x_o(n)$ $jX_I(e^{j\omega})$

序列	傅里叶变换
\(x(n)\)	\(X(e^{j\omega})\)
\(x_e(n)\)	\(X_R(e^{j\omega})\)
\(x_o(n)\)	\(jX_I(e^{j\omega})\)

离散希尔伯特变换关系式
\[ X_I(e^{j\omega})=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\cot\left(\frac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta \]
\[ X_R(e^{j\omega})=x[0]+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_I(e^{j\theta})\cot\left(\frac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta \]

离散希尔伯特变换关系式的推导

令$U(e^{j\omega})$是单位阶跃序列$u[n]$的傅里叶变换, 可表示为
\[ \begin{aligned} U(e^{j\omega})&=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega-2\pi k)\\ &=\frac{e^{j\omega/2}}{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega-2\pi k)\\ &=\frac{\cos\dfrac{\omega}{2}+j\sin\dfrac{\omega}{2}}{2j\sin\dfrac{\omega}{2}}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega-2\pi k)\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{j}{2}\cot\dfrac{\omega}{2}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega-2\pi k)\\ \end{aligned} \]

已知时域关系$x[n]=2x_e[n]u[n]-x_e[0]\delta[n]$, 两边进行傅里叶变换得
\[ \begin{aligned} X(e^{j\omega})=&2\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})U(e^{j(\omega-\theta)})\mathrm{d}\theta-x[0]\\ =&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\left[\dfrac{1}{2}-\dfrac{j}{2}\cot\left(\dfrac{\omega-\theta}{2}\right)+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega-\theta-2\pi k)\right]\mathrm{d}\theta-x[0]\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\mathrm{d}\theta-\dfrac{j}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\cot\left(\dfrac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta+\\ &\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\theta-2\pi k)\mathrm{d}\theta-x[0] \end{aligned} \]

注意到
\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\mathrm{d}\theta=x[n]\big|_{n=0}=x[0] \]
\[ \int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\theta-2\pi k)\mathrm{d}\theta=\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\delta(\omega-\theta)\mathrm{d}\theta=X_R(e^{j\omega}) \]

因此可以得到
\[ \begin{aligned} X(e^{j\omega})&=-\dfrac{j}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\cot\left(\dfrac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta+X_R(e^{j\omega})\\ &=X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega}) \end{aligned} \]

由此推得离散希尔伯特变换关系式
\[ X_I(e^{j\omega})=-\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}X_R(e^{j\theta})\cot\left(\dfrac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta \]

有限长序列的充分性定理

考虑一个周期为$N$的周期序列$\tilde{x}[n]$, 它与长度为$N$的有限长序列的关系为
\[ \tilde{x}[n]=x[((n))_N] \]

$\tilde{x}[n]$在一个周期内可以表示成一个偶序列和一个奇序列之和, 即
\[ \tilde{x}[n]=\tilde{x}_e[n]+\tilde{x}_o[n],n=0,1,\cdots,(N-1) \]

其中
\[ \tilde{x}_e[n]=\frac{\tilde{x}[n]+\tilde{x}[-n]}{2},n=0,1,\cdots,(N-1) \]
\[ \tilde{x}_o[n]=\frac{\tilde{x}[n]-\tilde{x}[-n]}{2},n=0,1,\cdots,(N-1) \]

定义“周期因果”序列: 当$\dfrac{N}{2}<n<N$时, $\tilde{x}[n]=0$, 则$\tilde{x}[n]$在后半周期内为0.

$周期$N=8$的“周期因果”实序列的偶部和奇部$
周期$N=8$的“周期因果”实序列的偶部和奇部

周期因果序列$\tilde{x}[n]$可表示为
\[ \tilde{x}[n]= \begin{cases} 2\tilde{x}_e[n] & n=1,2,\cdots,\dfrac{N}{2}-1\\[8pt] \tilde{x}_e[n] & n=0,\dfrac{N}{2}\\[8pt] 0 & n=\dfrac{N}{2}+1,\cdots,N-1 \end{cases} \]
\[ \tilde{x}[n]= \begin{cases} 2\tilde{x}_o[n] & n=1,2,\cdots,\dfrac{N}{2}-1\\[8pt] 0 & n=\dfrac{N}{2}+1,\cdots,N-1 \end{cases} \]

定义周期序列
\[ \tilde{u}_N[n]= \begin{cases} 2 & n=1,2,\cdots,\dfrac{N}{2}-1\\[8pt] 1 & n=0,\dfrac{N}{2}\\[8pt] 0 & n=\dfrac{N}{2}+1,\cdots,N-1 \end{cases} \]

则当$N$为偶数时, $\tilde{x}[n]$可表示成
\[ \tilde{x}[n]=\tilde{x}_e[n]\tilde{u}_N[n] \]
\[ \tilde{x}[n]=\tilde{x}_o[n]\tilde{u}_N[n]+x[0]\tilde{\delta}[n]+x\left[\frac{N}{2}\right]\tilde{\delta}\left[n-\frac{N}{2}\right] \]

其中$\tilde{\delta}[n]$是周期为$N$的周期单位脉冲序列.

周期因果序列DFS实部和虚部之间的关系
\[ j\tilde{X}_I[k]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{X}_R[m]\tilde{V}_N[k-m] \]
\[ \tilde{X}_R[k]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}j\tilde{X}_I[m]\tilde{V}_N[k-m]+\tilde{x}[0]+(-1)^{k}\tilde{x}\left[\frac{N}{2}\right] \]

周期因果序列DFS实部和虚部关系的推导

令$\tilde{U}_N[k]$是序列$\tilde{u}_N[n]$的DFS, 可表示为
\[ \begin{aligned} \tilde{U}_N[k]&=\begin{cases} N & k=0\\[2pt] -j2\cot\dfrac{\pi k}{N} & k\text{为奇数}\\[2pt] 0 & k\text{为偶数} \end{cases}\\ &=\tilde{V}_N[k]+N\tilde{\delta}[k] \end{aligned} \]

其中
\[ \tilde{V}_N[k]= \begin{cases} -j2\cot\dfrac{\pi k}{N} & k\text{为奇数}\\[2pt] 0 & k\text{为偶数} \end{cases} \]

已知时域关系$\tilde{x}[n]=\tilde{x}_e[n]\tilde{u}_N[n]$, 两边进行DFS得
\[ \begin{aligned} \tilde{X}[k]&=\tilde{X}_R[k]+j\tilde{X}_I[k]\\ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{X}_R[m]\tilde{U}_N[k-m]\\ &=\tilde{X}_R[k]+\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{X}_R[m]\tilde{V}_N[k-m] \end{aligned} \]

由此可以推得
\[ j\tilde{X}_I[k]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{X}_R[m]\tilde{V}_N[k-m] \]

幅度和相位间的关系

因果序列$x[n]$的复倒谱$\hat{x}[n]$满足
\[ \begin{aligned} x[n]&\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow}X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\arg[X(e^{j\omega})]}\\ \hat{x}[n]&\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow}\hat{X}(e^{j\omega}) \end{aligned} \]

其中
\[ \hat{X}(e^{j\omega})=\log[X(e^{j\omega})]=\log|X(e^{j\omega})|+j\arg[X(e^{j\omega})] \]

若$\hat{x}[n]$是因果的, 则$\hat{X}(e^{j\omega})$的实部和虚部分别为$\log|X(e^{j\omega})|$和$\arg[X(e^{j\omega})]$, 且满足
\[ \arg[X(e^{j\omega})]=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|X(e^{j\theta})|\cot\left(\frac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta \]
\[ \log|X(e^{j\omega})|=\hat{x}[0]+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\arg[X(e^{j\theta})]\cot\left(\frac{\omega-\theta}{2}\right)\mathrm{d}\theta \]

其中
\[ \hat{x}[0]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|X(e^{j\omega})|\mathrm{d}\omega \]

复序列的希尔伯特变换关系

若$x[n]$表示某序列, 其傅里叶变换满足
\[ X(e^{j\omega})=0,-\pi\leq\omega<0 \]

则$x[n]$必须是复数, 因为若$x[n]$为实数, 则$X(e^{j\omega})$必须是共轭对称的, 即$X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$.

$x[n]$可表示为
\[ x[n]=x_r[n]+jx_i[n] \]

若$X_r(e^{j\omega})$和$X_i(e^{j\omega})$分别表示实序列$x_r[n]$和$x_i[n]$的傅里叶变换, 则
\[ X(e^{j\omega})=X_r(e^{j\omega})+jX_i(e^{j\omega}) \]

根据傅里叶变换的对称性可得

序列傅里叶变换

$x(n)$ $X(e^{j\omega})$
$x_r(n)$ $X_r(e^{j\omega})$
$jx_i(n)$ $jX_i(e^{j\omega})$

其中
\[ X_r(e^{j\omega})=\frac{X(e^{j\omega})+X^*(e^{-j\omega})}{2}=X_r^*(e^{-j\omega})\quad\text{(共轭对称)} \]
\[ jX_i(e^{j\omega})=\frac{X(e^{j\omega})-X^*(e^{-j\omega})}{2}=-jX_i^*(e^{-j\omega})\quad\text{(共轭反对称)} \]

序列	傅里叶变换
\(x(n)\)	\(X(e^{j\omega})\)
\(x_r(n)\)	\(X_r(e^{j\omega})\)
\(jx_i(n)\)	\(jX_i(e^{j\omega})\)

单边傅里叶变换的分解(实线表示实部, 虚线表示虚部)

$X(e^{j\omega})$可以由$X_r(e^{j\omega})$和$X_i(e^{j\omega})$完全恢复, 即
\[ X(e^{j\omega})= \begin{cases} 2X_r(e^{j\omega}) & 0<\omega<\pi\\ 0 & -\pi\leq\omega<0 \end{cases} \]
\[ X(e^{j\omega})= \begin{cases} 2jX_i(e^{j\omega}) & 0<\omega<\pi\\ 0 & -\pi\leq\omega<0 \end{cases} \]

$X_r(e^{j\omega})$和$X_i(e^{j\omega})$之间的关系
\[ \begin{aligned} X_i(e^{j\omega})&=\begin{cases} -jX_r(e^{j\omega}) & 0<\omega<\pi\\ jX_r(e^{j\omega}) & -\pi\leq\omega<0 \end{cases}\\ &=H(e^{j\omega})X_r(e^{j\omega}) \end{aligned} \]
\[ X_r(e^{j\omega})=\frac{1}{H(e^{j\omega})}X_i(e^{j\omega})=-H(e^{j\omega})X_i(e^{j\omega}) \]

其中$H(e^{j\omega})$为希尔伯特变换器的频率响应
\[ H(e^{j\omega})= \begin{cases} -j & 0<\omega<\pi\\ j & -\pi<\omega<0 \end{cases} \]

对应的脉冲响应$h[n]$为
\[ h[n]= \begin{cases} \dfrac{2\sin^2\dfrac{\pi n}{2}}{\pi n} & n\neq0\\[2pt] 0 & n=0 \end{cases} \]

(1) 可以让$x_r[n]$通过一个频率响应为$H(e^{j\omega})$的系统得到$x_i[n]$, 也可以由$x_i[n]$得到$-x_r[n]$.

(2) 希尔伯特变换器的幅值为1, 对于$0<\omega<\pi$有$-\dfrac{\pi}{2}$的相位加权, 而对于$-\pi<\omega<0$有$+\dfrac{\pi}{2}$的相位加权, 因此也可以称为理想$90^\circ$移相器(在$\omega=0$有$\pi$的相位跳变$\Rightarrow$在$z=1$有奇数个零点).

(3) $h[n]$是一个奇对称序列, 因此如果使用FIR广义线性相位系统逼近希尔伯特变换器, 只能选择III类或IV类.其中III类FIR需要更少的计算量, 但IV类FIR在幅频特性上有更好的逼近.

产生具有单边傅里叶变换的复序列的方程框图

IIR系统逼近的希尔伯特变换器(相位分裂器)

全通相位分裂法的方框图

(1) $H_1(e^{j\omega})$和$H_2(e^{j\omega})$是两个相位响应相差$90^\circ$的全通系统.

(2) $Y(e^{j\omega})$和$X(e^{j\omega})$的幅值相等, 相位相差一个$H_1(e^{j\omega})$和$H_2(e^{j\omega})$的共同相位分量.

带通信号的表示

考虑复低通信号
\[ x[n]=x_r[n]+jx_i[n] \]

其中$x_i[n]$是$x_r[n]$的希尔伯特变换, 且
\[ X(e^{j\omega})=0,-\pi\leq\omega<0 \]

考虑序列
\[ \begin{aligned} s[n]&=x[n]e^{j\omega_cn}\\ &=(x_r[n]+jx_i[n])(\cos\omega_cn+j\sin\omega_cn)\\ &=x_r[n]\cos\omega_cn-x_i[n]\sin\omega_cn+jx_i[n]\cos\omega_cn+jx_r[n]\sin\omega_cn\\ &=s_r[n]+js_i[n] \end{aligned} \]

由此可以得到
\[ s_r[n]=x_r[n]\cos\omega_cn-x_i[n]\sin\omega_cn \]
\[ s_i[n]=x_i[n]\cos\omega_cn+x_r[n]\sin\omega_cn \]

产生单边带信号的方框图

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