本文是“线性代数”系列的第 06 章，主题为“二次型”。

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二次型化为二次型的矩阵\(\boldsymbol{A}\)

(1) \(\boldsymbol{A}\)主对角线上的元素为二次型的平方项系数.

(2) \(x_ix_j\)项系数除以2, 放在\((i,j),(j,i)\)位置.

由\(\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^T\)到\(\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3)^T\)的坐标变换
\[ \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{ccc} c_{11} & c_{12} & c_{13}\\ c_{21} & c_{22} & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3\\ \end{array}\right] \]
\[ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy} \]

其中\(\boldsymbol{C}\)是可逆矩阵.

标准型 只含有平方项的二次型.

规范型 平方项系数为1, \(-1\)或0的标准型.

任意二次型都可以通过坐标变换化成标准型

(1) 配方法.

(2) 正交变换法.

正交变换法的具体步骤如下(下设\(n=3\)):

(1) 写出二次型矩阵\(\boldsymbol{A}\);

(2) 求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\);

(3) 求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征向量\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\);

(4) 改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)\(\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_3\);

(5) 构造正交矩阵\(\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_3]\), 则经坐标变换得\(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\overset{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}}{=}\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2\).

二次型\(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)经坐标变换\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}\)化为二次型\(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}\)

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}\) (合同)

\(\Leftrightarrow\)正、负惯性指数相等

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)与\(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}\)有相同的规范型.

\(n\)元二次型\(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)正定的充分必要条件有:

(1) \(\boldsymbol{A}\)的正惯性指数为\(n\);

(2) \(\boldsymbol{A}\)与\(\boldsymbol{E}\)合同;

(3) \(\boldsymbol{A}\)的所有特征值均为正数;

(4) \(\boldsymbol{A}\)的各阶顺序主子式大于零.

推论: \(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)正定的必要条件

(1) \(a_{ii}>0\);

(2) \(|\boldsymbol{A}|>0\).

矩阵的等价、相似、合同

(一) \(\boldsymbol{A}\)和\(\boldsymbol{B}\)均为\(m\times n\)矩阵, 即同型矩阵

\(\boldsymbol{A}\)与\(\boldsymbol{B}\)等价

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{A}\)经初等变换得到\(\boldsymbol{B}\)

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}\), 其中\(\boldsymbol{P},\boldsymbol{Q}\)可逆

\(\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\).

(二) \(\boldsymbol{A}\)和\(\boldsymbol{B}\)均为\(n\)阶矩阵

\(\boldsymbol{A}\)与\(\boldsymbol{B}\)相似

\(\Leftrightarrow \exists\)可逆矩阵\(\boldsymbol{P}\), 使\(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}\).

判断、证明相似

(1) \(\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda},\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{\Lambda}\Rightarrow \boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}\).

(2) 实对称矩阵\(\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}\Leftrightarrow\lambda_{\boldsymbol{A}}=\lambda_{\boldsymbol{B}}\).

判断不相似(必要条件)

(1) \(\displaystyle\sum a_{ii}\neq\displaystyle\sum b_{ii}\); (2) \(\lambda_{\boldsymbol{A}}\neq\lambda_{\boldsymbol{B}}\); (3) \(r(\boldsymbol{A})\neq r(\boldsymbol{B})\); (4) \(|\boldsymbol{A}|\neq|\boldsymbol{B}|\); (5) \(\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}\nsim \boldsymbol{B}+k\boldsymbol{E}\).

(三) \(\boldsymbol{A}\)和\(\boldsymbol{B}\)均为\(n\)阶实对称矩阵

\(\boldsymbol{A}\)与\(\boldsymbol{B}\)合同

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}\), 其中\(\boldsymbol{C}\)可逆

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)与\(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\)有相同的正、负惯性指数.

注意: 实对称矩阵\(\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}\Rightarrow \boldsymbol{A}\simeq \boldsymbol{B}\), 但\(\boldsymbol{A}\simeq \boldsymbol{B}\nRightarrow \boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}\).

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