本文是“线性代数”系列的第 05 章，主题为“特征值与特征向量”。

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(1) 矩阵\(\boldsymbol{A}\)属于特征值\(\lambda\)的特征向量, 线性组合仍是矩阵\(\boldsymbol{A}\)属于特征值\(\lambda\)的特征向量.

(2) 若\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)不同特征值的特征向量, 则\(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\)不是\(\boldsymbol{A}\)的特征向量.

矩阵\(\boldsymbol{A}\)经变换后的特征值和特征向量

\(\boldsymbol{A}\)	\(k\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\)	\(\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}\)	\(\boldsymbol{A}^{-1}\)	\(\boldsymbol{A}^*\)	\(\boldsymbol{A}^n\)	\(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\)
\(\lambda\)	\(k\lambda+1\)	\(\lambda+k\)	\(\dfrac{1}{\lambda}\)	\(\dfrac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}\)	\(\lambda^n\)	\(\lambda\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)	\(\boldsymbol{\alpha}\)	\(\boldsymbol{\alpha}\)	\(\boldsymbol{\alpha}\)	\(\boldsymbol{\alpha}\)	\(\boldsymbol{\alpha}\)	\(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\alpha}\)

设\(\boldsymbol{A}\)是\(n\)阶矩阵, \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征值, 则

(1) \(\displaystyle\sum\lambda_i=\displaystyle\sum a_{ii}\);

(2) \(|\boldsymbol{A}|=\displaystyle\prod\lambda_i\).

特殊矩阵的特征值

(1) 上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素.

(2) \(\boldsymbol{A}\)是\(n\)阶矩阵, \(r(\boldsymbol{A})=1\), 则\(\lambda_1=\displaystyle\sum a_{ii}\), 其余特征值均为0.

(1) 不同特征值对应的特征向量线性无关.

(2) \(k\)重特征值最多\(k\)个线性无关的特征向量.

\(n\)阶方阵\(\boldsymbol{A}\)可对角化\(\Leftrightarrow \boldsymbol{A}\)有\(n\)个线性无关的特征向量.

(1) \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{\Lambda}\Leftrightarrow \lambda_i\)是\(\boldsymbol{A}\)的\(n_i\)重特征值, 则\(\lambda_i\)有\(n_i\)个线性无关的特征向量.

(2) \(n\)阶方阵\(\boldsymbol{A}\)有\(n\)个不同的特征值\[ \Rightarrow \boldsymbol{A}\sim\left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 &&&\\ & \lambda_2 &&\\ && \ddots &\\ &&&\lambda_n\\ \end{array}\right] \].

(1) \(\boldsymbol{A}\)为\(n\)阶实对称矩阵\(\Leftrightarrow \boldsymbol{A}\)有\(n\)个正交的特征向量.

(2) \(n\)阶实对称阵\(\boldsymbol{A}\)必可对角化, 且可用正交阵相似对角化, 即总存在正交阵\(\boldsymbol{Q}\), 使得
\[ \boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 &&&\\ & \lambda_2 &&\\ && \ddots &\\ &&&\lambda_n\\ \end{array}\right] \]

用正交矩阵把实对称矩阵\(\boldsymbol{A}\)化为对角矩阵的步骤:

(1) 写出矩阵\(\boldsymbol{A}\);

(2) 求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征值;

(3) 求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征向量;

(4) 单位化, 当特征值有重根时, 可能还要Schmidt正交化;

(5) 构造正交矩阵\(\boldsymbol{Q}\), 得\(\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}\).

Schmidt正交化方法

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_1&=\boldsymbol{\alpha}_1\\ \boldsymbol{\beta}_2&=\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1\\ \boldsymbol{\beta}_3&=\boldsymbol{\alpha}_3-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2)}\boldsymbol{\beta}_2 \end{aligned} \]
\[ \boldsymbol{\gamma}_1=\frac{\boldsymbol{\beta}_1}{||\boldsymbol{\beta}_1||} \boldsymbol{\gamma}_2=\frac{\boldsymbol{\beta}_2}{||\boldsymbol{\beta}_2||} \boldsymbol{\gamma}_3=\frac{\boldsymbol{\beta}_3}{||\boldsymbol{\beta}_3||} \]

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