本文是“线性代数”系列的第 04 章，主题为“线性方程组”。

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\(m\)个方程\(n\)个未知数的齐次线性方程组有非零解

\(\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})<n\)

\(\Leftrightarrow \boldsymbol{A}\)的列向量线性相关.

推论:

(1) \(m<n\Rightarrow\)齐次方程组必有非零解.

(2) \(m=n\), 齐次方程组有非零解\(\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|=0\).

齐次线性方程组系数矩阵的秩\(r(\boldsymbol{A})=r<n\)

\(\Rightarrow \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\)的基础解系由\(n-r(\boldsymbol{A})\)个线性无关的解向量构成.

证明\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_t\)是\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\)的基础解系

(1) 验证\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_t\)是\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\)的解.

(2) 证明\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_t\)线性无关.

(3) \(t=n-r(\boldsymbol{A})\).

有解判定定理

非齐次线性方程组\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\)有解\(\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})\).

(1) \(r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=n\Rightarrow\)方程组有唯一解;

(2) \(r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})<n\Rightarrow\)方程组有无穷多解.

非齐次线性方程组\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\)无解\(\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})+1=r(\overline{\boldsymbol{A}})\).

\(\Leftrightarrow\boldsymbol{b}\)不能由\(\boldsymbol{A}\)的列向量线性表出.

求解两个方程组的公共解

(方法一) 把方程组(I)和(II)联立起来直接求解.

(方法二) 通过(I)与(II)各自的通解, 寻找公共解.

(方法三) 把(I)的通解代入(II)中, 如果仍是解, 寻找\(k_1,k_2\)满足的关系式而求出公共解.

方程组同解(注意与向量组等价相对应)

必要条件: \(n-r(\boldsymbol{A})=n-r(\boldsymbol{B})\Rightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\).

充要条件:

(1) \(r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\)且\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\)的解全是\(\boldsymbol{Bx}=\boldsymbol{0}\)的解.

(2) \[ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=r\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}\\ \end{array}\right) \].

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