高等数学 Ch06：无穷级数
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上一篇：高等数学 Ch05：多元函数微分学与二重积分 · 下一篇：高等数学 Ch07：多元函数积分学及其应用本文是“高等数学”系列的第 06 章，主题为“无穷级数”。
常数项级数
级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)的部分和
\[ S_n=\sum_{i=1}^{n}u_i \]若部分和数列\(\{S_n\}\)有极限\(S\), 即\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=S\), 则级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛, 且该极限\(S\)为级数的和;
若极限\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n\)不存在, 则级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散.
级数的性质
(1) 若级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛于\(S\), 则级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ku_n\)也收敛, 且其和为\(kS\).
(2) 若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)分别收敛于\(S,\sigma\), 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)\)收敛于\(S\pm\sigma\).
若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)\)必发散;
若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)都发散, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)\)敛散性不定.
(3) 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不改变级数的敛散性.
(4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.
若级数加括号以后收敛, 原级数不一定收敛;
若级数加括号以后发散, 则原级数一定发散.
(5) (级数收敛的必要条件) 若级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛, 则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0\).
正项级数的审敛准则
基本定理 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛\(\Leftrightarrow S_n\)有界.
(1) 比较判别法
设\(u_n\leqslant v_n\), 则
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛\(\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛; \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散\(\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散.
(2) 比较法极限形式
设\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=l(0\leqslant l\leqslant+\infty)\),
若\(0<l<+\infty\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)与\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)同敛散;
若\(l=0\), 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛\(\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散\(\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散;
若\(l=+\infty\), 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散\(\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛.
常用\(p\)级数和等比级数作为比较法的比较基准.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}\) 当\(p>1\)时收敛, 当\(p\leqslant1\)时发散.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}q^n\) 当\(q<1\)时收敛, 当\(q\geqslant1\)时发散, 其中\(q\)为正数.
(3) 比值法
若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\), 则\[ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\begin{cases} \text{收敛} & \rho<1\\ \text{发散} & \rho>1\\ \text{不一定} & \rho=1 \end{cases} \]
(4) 根值法
若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\), 则\[ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\begin{cases} \text{收敛} & \rho<1\\ \text{发散} & \rho>1\\ \text{不一定} & \rho=1 \end{cases} \]
(5) 积分判别法
设\(f(x)\)是\([1,+\infty)\)上单调减, 非负的连续函数, 且\(a_n=f(n)\), 则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)与\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)同敛散.
注意:
(1) 若级数通项出现\(a^n,n!,n^n\), 优先考虑比值法和根值法.
(2) 若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n^2\)收敛, 但\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)收敛\(\nRightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n^2\)收敛;
若正项级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)收敛, \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n\)收敛.
(3) 级数\[ \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln^nn}\begin{cases} \text{收敛} & p>1\\ \text{发散} & p\leqslant1 \end{cases} \]
可利用积分判别法判断:
令\(f(x)=\dfrac{1}{x\ln^px}(x\geqslant2)\), 显然\(f(x)\)是\([2,+\infty)\)上单调减, 非负的连续函数, 且\(a_n=\dfrac{1}{n\ln^pn}=f(n)\), 则级数\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln^nn}\)与反常积分\(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}x}{x\ln^px}\)同敛散.
\[ \int_{2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^px}\overset{\ln x=t}{=}\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^p} \]则原级数在\(p>1\)时收敛, 在\(p\leqslant1\)时发散.
交错级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n,u_n>0 \]莱布尼茨准则(充分非必要条件): \(\{u_n\}\)单调减, \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n\)收敛.
任意性级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n,u_n\text{为任意实数} \](1) 级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\)收敛, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)必收敛, 此时称级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)绝对收敛;
级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛, 但\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\)发散, 此时称级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)条件收敛.
(2) 绝对收敛的级数一定收敛, 即\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛;
条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.
(3) 常用结论:
绝对收敛\(\pm\)条件收敛\(=\)条件收敛;
绝对收敛\(\pm\)绝对收敛\(=\)绝对收敛;
条件收敛\(\pm\)条件收敛\(=\)条件收敛或绝对收敛.
幂级数
阿贝尔定理
(1) 若\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)当\(x=x_0(x_0\neq0)\)时收敛, 则当\(|x|<|x_0|\)时, \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)绝对收敛;
(2) 若\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)当\(x=x_0\)时发散, 则当\(|x|>|x_0|\)时, \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)发散.
幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛性有且仅有三种可能:
(1) 对任何\(x\in(-\infty,+\infty)\)都收敛(\(R=+\infty\));
(2) 仅在\(x=0\)处收敛(\(R=0\));
(3) 存在一个正数\(R\), 当\(|x|<R\)时绝对收敛, 当\(|x|>R\)时发散.
这个正数\(R\)称为幂级数的收敛半径.开区间\((-R,R)\)称为它的收敛区间.再考察\(x=\pm R\)时幂级数的收敛性, 即可得出该级数收敛点的全体, 称之为收敛域.
注意: 若幂级数在\(x=x_0\)处条件收敛, 则点\(x_0\)必为收敛区间\((-R,R)\)的端点.
若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\rho\), 则\(R=\dfrac{1}{\rho}\);
若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho\), 则\(R=\dfrac{1}{\rho}\).
幂级数的性质
(一) 有理运算性质
设幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛半径为\(R_1,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)的收敛半径为\(R_2\), 令\(R=\min\{R_1,R_2\}\), 则有
(1) 加法: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n,x\in(-R,R)\);
(2) 减法: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-b_n)x^n,x\in(-R,R)\);
(3) 乘法: \(\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right) \cdot\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)\)
\(=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\cdots+(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0)x^n+\cdots,x\in(-R,R)\);
(4) 除法: \(\dfrac{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n,x\in(-R,R)\),
其中系数\(c_n(n=0,1,2\cdots)\)由\(\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right) \cdot\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)所确定.
(二) 分析性质
设幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛半径为\(R\), 和函数\(S(x)\), 则
(1) 连续性: \(S(x)\)在收敛域上连续;
(2) 可导性: \(S(x)\)在收敛区间\((-R,R)\)内可导, 且可逐项求导, 即
\[ S'(x)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right) '=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} \]求导后的幂函数与原幂级数有相同的收敛半径;
(3) 可积性: \(S(x)\)在收敛域上可积, 且可逐项积分, 即
\[ \int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_nt^n\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_nx^{n+1} \]积分后的幂函数与原幂级数有相同的收敛半径.
若函数\(f(x)\)在区间\((x_0-R,x_0+R)\)上能展开为\(x-x_0\)的幂级数
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \]则\(f(x)\)在区间\((x_0-R,x_0+R)\)上任意阶可导, 且其展开式是唯一的, 为
\[ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(n=0,1,2,\cdots) \]此时称幂级数
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]为\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的泰勒级数.
特别地, \(x_0=0\)处的泰勒级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)为函数\(f(x)\)的麦克劳林级数.
设\(f(x)\)在\(x=x_0\)处任意阶可导, 则\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)在\((x_0-R,x_0+R)\)上收敛于\(f(x)\Leftrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0\), 其中\(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)为\(f(x)\)在\(x_0\)处的泰勒公式
\[ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) \]中的余项.
常见泰勒展开式
(1) \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\)，\((-\infty<x<+\infty)\);
(2) \(\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\)，\((-\infty<x<+\infty)\);
(3) \(\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\)，\((-\infty<x<+\infty)\);
(4) \(\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)，\((-1<x<1)\);
(5) \(\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\)，\((-1<x<1)\);
(6) \(-\ln(1-x)=x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots+\dfrac{x^n}{n}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}\)，\((-1\leqslant x<1)\);
(7) \(\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\)，\((-1<x\leqslant1)\);
(8) \(\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}\)，\((-1\leqslant x\leqslant1)\);
\[ \begin{aligned} (9)\;(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots\\ &=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n \end{aligned} \]
适用范围：\(-1<x<1\)。
傅里叶级数
傅里叶级数
设函数\(f(x)\)是周期为\(T\)的周期函数, 则其在一个周期内的傅里叶展开为
\[ \begin{aligned} f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\cos n\omega x+b_n\sin n\omega x)\\ &=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega x+b_n\sin n\omega x) \end{aligned} \]其中\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\), \(a_0\)满足
\[ a_0=\frac{1}{T}\int_{T}f(x)\mathrm{d}x \]傅里叶系数\(a_n\)和\(b_n\)满足
\[ a_n=\frac{2}{T}\int_{T}f(x)\cos n\omega x\mathrm{d}x \text{(偶对称)} \]
\[ b_n=\frac{2}{T}\int_{T}f(x)\sin n\omega x\mathrm{d}x \text{(奇对称)} \]
收敛定理(狄利克雷)
设\(f(x)\)是\([-\pi,\pi]\)上的分段单调函数, 除有限个第一类间断点外都是连续的, 则\(f(x)\)的傅里叶级数在\([-\pi,\pi]\)上处处收敛, 且收敛于
\[ \begin{cases} f(x) & \text{当 }x\text{ 为 }f(x)\text{ 的连续点}\\[2pt] \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2} & \text{当 }x\text{ 为 }f(x)\text{ 的间断点}\\[8pt] \dfrac{f(-\pi^+)+f(\pi^-)}{2} & \text{当 }x=\pm\pi\text{（端点）} \end{cases} \]
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