本文是“高等数学”系列的第 05 章，主题为“多元函数微分学与二重积分”。

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多元函数微分学

偏导数
\[ f'_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0)\big|_{x=x_0} \]

\(f'_x(x_0,y_0)\)即为一元函数\(f(x,y_0)\)在\(x_0\)处的导数\(\Rightarrow\)求具体点处的偏导数时可用先代后求的方法.

二阶混合偏导数

设\(z=f(x,y)\), 则
\[ \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f''_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) \frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=f''_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) \]

若\(f''_{xy}(x,y)\)及\(f''_{yx}(x,y)\)在区域\(D\)内连续, 则恒有
\[ f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y) \]

函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微的等价形式

(1) \(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\);

(2) \(\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow0\\ \Delta y\rightarrow0}}\dfrac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0\);

(3) \(\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho)\);

(4) \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}}\dfrac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-[A(x-x_0)+B(y-y_0])}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\).

其中\(f'_x(x_0,y_0)=A,f'_y(x,y)=B\).

连续、可导、可微的关系

一阶偏导数存在\(\nLeftrightarrow\)连续, 可微\(\Rightarrow\)一阶偏导存在, 可微\(\Rightarrow\)连续, 一阶偏导连续\(\Rightarrow\)可微.

注意:

(1) 偏导数存在只有\(x\)、\(y\)轴方向有关, 而连续和可微都要求以任意方式趋于\((x_0,y_0)\).

(2) 由\(\lim\limits_{x\rightarrow0}f'_x(x,0)=f'_x(0,0)\nRightarrow\lim\limits_{\substack{x\rightarrow0\\ y\rightarrow0}}f'_x(x,y)=f'_x(0,0)\), 即得不出\(f'_x(x,y)\)在\((0,0)\)点连续.

隐函数求导公式

设\(F(x,y,z)\)有连续一阶偏导数, \(F'_z\neq0,z=z(x,y)\)由\(F(x,y,z)=0\)所确定, 则
\[ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z} \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z} \]

二元函数极值

必要条件: 极值只可能在驻点和偏导数不存在的点上取得.

充分条件: \(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的某邻域内有二阶连续偏导数, \(f'_x(x_0,y_0)=0,f'(x_0,y_0)=0\),
\[ A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0) \]

则有下述结论:

(1) \[ AC-B^2>0\Rightarrow\begin{cases} (x_0,y_0)\text{为极大值点} & A<0\\ (x_0,y_0)\text{为极小值点} & A>0 \end{cases} \];

(2) \(AC-B^2<0\Rightarrow(x_0,y_0)\)不为极值点;

(3) \(AC-B^2=0\), 无法判断(使用定义).

二重积分

二重积分的性质

(一) 不等式性质

(1) 若在\(D\)上\(f(x,y)\leqslant g(x,y)\), 则\(\displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant\displaystyle\iint\limits_Dg(x,y)\mathrm{d}\sigma\).

(2) 若\(f(x,y)\)在\(D\)上连续, 则\(mS\leqslant\displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant MS\), 其中\(m\)和\(M\)分别为\(f(x,y)\)在\(D\)上的最小值和最大值, \(S\)为积分域\(D\)的面积.

(3) \(\left| \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right| \leqslant\displaystyle\iint\limits_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\).

(二) 积分中值定理

若\(f(x,y)\)在\(D\)上连续, 则\(\displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)S\), 其中\((\xi,\eta)\in D\), \(S\)为积分域\(D\)的面积.

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