本文是“高等数学”系列的第 04 章，主题为“常微分方程”。

上一篇：高等数学 Ch03：一元函数积分学 · 下一篇：高等数学 Ch05：多元函数微分学与二重积分

齐次方程: 如\(x^2y'+xy=y^2\), 各项均为二次, 可化为\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\left( \dfrac{y}{x}\right)\).

求解的一般方法: 令\(u=\dfrac{y}{x}\), 则\(y'=u+xu'\), 原方程化为可分离变量的方程.

线性方程: 形如\(y'+p(x)y=Q(x)\)的方程, 未知函数\(y\)及其导数\(y'\)都是一次的, 利用通解公式:
\[ y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\left[ \int Q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right] \]

伯努利方程: 形如\(y'+p(x)y=Q(x)y^n\)的方程.

求解的一般方法: 令\(u=y^{1-n}\), 原方程化为一阶线性微分方程.

可降阶的高阶方程

(1) \(y''=f(x,y')\)型的方程(不显含\(y\)): 令\(y'=p,y''=p'\).

(2) \(y''=f(y,y')\)型的方程: 令\(y'=p,y''=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\).

线性微分方程解的结构(\(y_1\)、\(y_2\)为齐次方程的解, \(y^*\)为非齐次方程的特解)

齐次方程: \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), 通解\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\).

非齐次方程: \(y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\), 通解\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)\).

解的性质

(1) 如果\(y_1^*(x),y_2^*(x)\)是非齐次方程的两个特解, 则\(y(x)=y_2^*(x)-y_1^*(x)\)是齐次方程的解.

(2) \[ a_1y_1^*+a_2y_2^*+\cdots+a_ny_n^*\begin{cases} \text{为齐次解} \Leftrightarrow a_1+a_2+\cdots+a_n=0\\ \text{为非齐次解}\Leftrightarrow a_1+a_2+\cdots+a_n=1 \end{cases} \]

欧拉方程: 形如\(x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)\)的方程.

求解的一般方法: 令\(x=e^t\), 原方程化为线性常系数方程, 一般地有
\[ x^ky^{(k)}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y \]

其中\(D\)代表对\(t\)求导数的运算.

---

上一篇：高等数学 Ch03：一元函数积分学 · 下一篇：高等数学 Ch05：多元函数微分学与二重积分