本文是“高等数学”系列的第 03 章，主题为“一元函数积分学”。

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原函数的存在性(不定积分)

(1) \(f(x)\)在区间\(I\)上连续\(\Rightarrow f(x)\)在区间\(I\)上必有原函数.

(2) \(f(x)\)在区间\(I\)上有第一类间断点\(\Rightarrow f(x)\)在区间\(I\)上没有原函数.

(3) \(f(x)\)在区间\(I\)上有第二类间断点\(\Rightarrow f(x)\)在区间\(I\)上可能有原函数.

可积性(定积分)

(1) \(f(x)\)在\([a,b]\)上连续\(\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\)必定存在.

(2) \(f(x)\)在\([a,b]\)上有界, 且只有有限个间断点\(\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\)必定存在.

(3) \(f(x)\)在\([a,b]\)上只有有限个第一类间断点\(\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\)必定存在.

基本积分公式

\(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C\) \(\displaystyle\int a^x\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\neq1)\)

\(\displaystyle\int\sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C\) \(\displaystyle\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C\) \(\displaystyle\int\tan^2x\mathrm{d}x=\tan x-x+C\)

\(\displaystyle\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\) \(\displaystyle\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\)

\(\displaystyle\int\sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C\) \(\displaystyle\int\csc x\mathrm{d}x=-\ln|\csc x+\cot x|+C\) \(\displaystyle\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C\)

\(\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C\) \(\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}=\dfrac{1}{2a}\ln\left| \dfrac{a+x}{a-x}\right| +C\) \(\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C\)

\(\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\) \(\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\)

常见可积函数积分

(一) 第二类换元法常用变量代换

(1) 被积函数中含有\(\sqrt{a^2-x^2}\)时, 令\(x=a\sin t\)或\(a\cos t\);

(2) 被积函数中含有\(\sqrt{a^2+x^2}\)时, 令\(x=a\tan t\);

(3) 被积函数中含有\(\sqrt{x^2-a^2}\)时, 令\(x=a\sec t\).

(二) 三角有理式积分

(1) 万能代换: 令\(\tan\dfrac{x}{2}=t\),
\[ \int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R\left( \dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right) \dfrac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t \]

(2) 常用换元法

若\(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\), 则令\(u=\cos x\), 即凑d\(\cos x\);

若\(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\), 则令\(u=\sin x\), 即凑d\(\sin x\);

若\(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)\), 则令\(u=\tan x\), 即凑d\(\tan x\).

(三) 简单无理函数积分
\[ \int R\left( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right) \mathrm{d}x \]

令\(\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}=t\), 将其化为有理函数积分进行计算.

(四) 表格积分法求分部积分
\[ \int uv^{(n+1)}\mathrm{d}x=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\cdots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\mathrm{d}x \]

即(注意正负交替, 且最后一项是积分)

求导	\(u\)	\(u'\)	\(u''\)	\(\cdots\)	\(u^{(n)}\)	\(u^{(n+1)}\)
积分	\(v^{(n+1)}\)	\(v^{(n)}\)	\(v^{(n-1)}\)	\(\cdots\)	\(v'\)	\(v\)

按左上至右下的对应项交叉相乘，符号正负交替。

表格积分法举例: \(\displaystyle\int e^{2x}\cos2x\mathrm{d}x\)

求导	\(\cos2x\)	\(-2\sin2x\)	\(-4\cos2x\)
积分	\(e^{2x}\)	\(\dfrac{1}{2}e^{2x}\)	\(\dfrac{1}{4}e^{2x}\)

按左上至右下的对应项交叉相乘，符号正负交替。

由上表知, \(\displaystyle\int e^{2x}\cos2x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}e^{2x}\cos2x-\dfrac{1}{4}e^{2x}(-2\sin2x)+\int\dfrac{1}{4}e^{2x}(-4\cos2x)\mathrm{d}x\)

\(\Rightarrow\displaystyle\int e^{2x}\cos2x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{4}e^{2x}(\cos2x+\sin2x)+C\)

(1) \[ \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x=\begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} & n\text{为偶数}\\[8pt] \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2}{3} & n\text{为大于1的奇数}\\[2pt] 1 & n=1 \end{cases} \]

\[ \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^nx\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^nx\mathrm{d}x=\begin{cases} 4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\mathrm{d}x & n\text{为偶数}\\[2pt] 0 & n\text{为奇数} \end{cases} \]

(2) 定积分几何意义: \(\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^2}\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{4}a^2\), \(\displaystyle\int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}a^2(a>0)\).

定积分计算技巧

(1) 区间再现:
\[ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(a+b-x)\mathrm{d}x \]

(2) 积分对称原理:

若\(f(x)\)关于\(\dfrac{a+b}{2}\)对称, 则
\[ \int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x=\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \]

推论:

(1) \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x\)

(2) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x=\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x\)

(3) \(\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}\mathrm{d}x=\dfrac{b-a}{2}\)

定积分的性质

(1) \(\left| \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\right| \leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|\mathrm{d}x\).

(2) 柯西积分不等式: \(\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right) ^2\leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x\displaystyle\int_{a}^{b}g^2(x)\mathrm{d}x\).

(3) 积分中值定理: \(f(x)\)在\([a,b]\)上连续\(\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a),a<\xi<b\).

(4) 广义积分中值定理: \(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上连续, 且\(g(x)\)不变号, 则
\[ \int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x,a\leqslant \xi\leqslant b \]

变上限求导
\[ \left( \displaystyle\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\mathrm{d}t\right) '=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x) \]

变上限积分\(F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\)的性质

连续性: \(f(x)\)在\([a,b]\)上可积\(\Rightarrow F(x)\)在\([a,b]\)上连续.

可导性: \(f(x)\)在\([a,b]\)上除点\(x=x_0\in(a,b)\)外均连续, 则在点\(x=x_0\)处

\(f(x)\)	\(F(x)\)
连续	可导, 且\(F'(x_0)=f(x_0)\)
可去	可导, 且\(F'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\)
跳跃	连续但不可导, 且\(F_-'(x_0)=f(x_0^-),F_+'(x_0)=f(x_0^+)\)

奇偶性: 设\(f(x)\)连续,

(1) \(f(x)\)为奇函数\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\)为偶函数;

(2) \(f(x)\)为偶函数\(\Rightarrow\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\)为奇函数.

无穷区间上反常积分的敛散性

(比较判别法) 设\(f(x),g(x)\)在\([a,+\infty)\)上连续, 且\(0\leqslant f(x)\leqslant g(x)\), 则

(1) \(\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)收敛;

(2) \(\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)发散\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\)发散.

(比较法的极限形式) 设\(f(x),g(x)\)在\([a,+\infty)\)上非负连续, 且\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lambda\) (有限或无穷), 则

(1) \(\lambda>0\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)与\(\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\)同敛散;

(2) \(\lambda=0,\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)收敛;

(3) \(\lambda=+\infty,\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x\)发散\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)发散.

常用结论: \[ \displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}\mathrm{d}x\begin{cases} p>1 & \text{收敛}\\ p\leqslant1 & \text{发散} \end{cases}(a>0) \].

无界函数反常积分的敛散性

(比较判别法) 设\(f(x),g(x)\)在\((a,b]\)上连续, 且\(0\leqslant f(x)\leqslant g(x)\), \(x=a\)为\(f(x)\)和\(g(x)\)的瑕点, 则

(1) \(\displaystyle\int_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\)收敛;

(2) \(\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\)发散\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\)发散.

(比较法的极限形式) 设\(f(x),g(x)\)在\((a,b]\)上非负连续, 且\(\lim\limits_{x\rightarrow a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lambda\) (有限或无穷), 则

(1) \(\lambda>0\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\)与\(\displaystyle\int_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\)同敛散;

(2) \(\lambda=0,\displaystyle\int_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\)收敛\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\)收敛;

(3) \(\lambda=+\infty,\displaystyle\int_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\)发散\(\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\)发散.

常用结论: \[ \displaystyle\int_a^{b}\dfrac{1}{(x-a)^q}\mathrm{d}x\begin{cases} q<1 & \text{收敛}\\ q\geqslant1 & \text{发散} \end{cases} \]; \[ \displaystyle\int_a^{b}\dfrac{1}{(b-x)^q}\mathrm{d}x\begin{cases} q<1 & \text{收敛}\\ q\geqslant1 & \text{发散} \end{cases} \].

含有对数\(\ln x\)的反常积分

(1) \(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\dfrac{1}{\ln^ax}\mathrm{d}x\)和\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\ln^ax\mathrm{d}x\)型

对任意的\(a\), \(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\dfrac{1}{\ln^ax}\mathrm{d}x\)都发散, \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\ln^ax\mathrm{d}x\)都收敛.

(2) \(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\dfrac{\ln^ax}{x^p}\mathrm{d}x\)和\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{\ln^ax}{x^p}\mathrm{d}x\)型

敛散性仅取决于\(\dfrac{1}{x^p}\), \(\ln^ax\)的作用可忽略.

(3) \(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p\ln^ax}\mathrm{d}x\)和\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{x^p\ln^ax}\mathrm{d}x\)型

当\(p\neq1\)时, 敛散性仅取决于\(\dfrac{1}{x^p}\), \(\ln^ax\)的作用可忽略.

当\(p=1\)时, 敛散性取决于\[ a\begin{cases} a>1 & \text{收敛}\\ a\leqslant1 & \text{发散} \end{cases} \]. 事实上此时的积分是容易计算的, 有
\[ \int\frac{1}{x\ln^ax}\mathrm{d}x=\int\dfrac{1}{\ln^ax}\mathrm{d}(\ln x)=\frac{\ln^{1-a}x}{1-a} \]

定积分应用

(一) 平面图形的面积
\[ S=\iint\limits_{D}1\mathrm{d}\sigma \]

(二) 旋转体的体积
\[ V=2\pi\iint\limits_{D}r(x,y)\mathrm{d}\sigma \]

其中\(r(x,y)\)为点\((x,y)\)到旋转轴的距离, 即\(r(x,y)=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

(三) 曲线弧长

(1) 曲线段\(C\)由直角坐标方程\(y=y(x),x\in[\alpha,\beta]\)给出\(\Rightarrow s=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x\).

(2) 曲线段\(C\)由参数方程\[ \begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases} ,t\in[\alpha,\beta] \]给出\(\Rightarrow s=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t\).

(3) 曲线段\(C\)由极坐标方程\(r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]\)给出\(\Rightarrow s=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\mathrm{d}\theta\).

(四) 旋转体侧面积

曲线\(y=f(x)(\geqslant0)\)和直线\(x=a,x=b(0\leqslant a<b)\)及\(x\)轴所围区域绕\(x\)轴旋转体侧面积为
\[ S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\mathrm{d}x \]

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