高等数学 Ch07：多元函数积分学及其应用
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上一篇：高等数学 Ch06：无穷级数本文是“高等数学”系列的第 07 章，主题为“多元函数积分学及其应用”。
三重积分
三重积分的计算
(一) 直角坐标下先一后二(\(D_{xy}\)为\(\Omega\)在\(xOy\)面上的投影域)
\[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=\iint\limits_{D_{xy}}\mathrm{d}\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z \](二) 直角坐标下先二后一(\(c_1,c_2\)为\(\Omega\)在\(z\)轴上的投影, \(D_z\)为垂直\(z\)轴截闭区域\(\Omega\)的平面闭区域)
\[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]适合:
(1) \(f(x,y,z)\)是\(z\)的一元函数;
(2) \(D_z\)面容易求出.
(三) 柱坐标(体积微元\(\mathrm{d}v=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\))
\[ \begin{cases} x=r\cos\theta & 0\leqslant r<+\infty\\ y=r\sin\theta & 0\leqslant\theta\leqslant2\pi\\ z=z & -\infty<z<+\infty \end{cases} \]适合:
(1) 函数 \(\varphi(z)f(\sqrt{x^2+y^2})=\varphi(z)f(r)\);
(2) 区域 以\(z\)为中心的圆柱体、椎体、偏心柱体.
(四) 球坐标(体积微元\(\mathrm{d}v=r^2\sin\varphi\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\))
\[ \begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta & 0\leqslant r<+\infty\\ y=r\sin\varphi\sin\theta & 0\leqslant\varphi\leqslant\pi\\ z=r\cos\varphi & 0\leqslant\theta\leqslant2\pi\\ \end{cases} \]适合:
(1) 函数 \(f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})=f(r)\);
(2) 区域 球体、半球、1/4球、球壳.
(五) 奇偶性 \(\Omega\)关于\(xOy\)面对称, 则\(\displaystyle\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}v\)关于\(z\)有对称性.
第一类线积分
平面曲线积分的计算
(一) 直接法
(1) \[ L:\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases} ,t\in[\alpha,\beta] \], 则
\[ \int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t \](2) \(L:y=y(x),x\in[\alpha,\beta]\), 则
\[ \int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)}\mathrm{d}x \](3) \(L:r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]\), 则
\[ \int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2+r'^2}\mathrm{d}\theta \](二) 奇偶性 \(L\)关于\(y\)轴对称, 则\(\displaystyle\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s\)关于\(x\)有奇偶性.
(三) 对称性 \(L\)关于\(y=x\)对称, 则\(\displaystyle\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_Lf(y,x)\mathrm{d}s\).
空间曲线积分的计算
\[ L:\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} ,t\in[\alpha,\beta] \], 则
\[ \int_Lf(x,y,z)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\mathrm{d}t \]
第二类线积分
平面曲线积分的计算
(一) 直接法
\[ L:\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases} ,t\in[\alpha,\beta] \], 起点\(t=\alpha\), 终点\(t=\beta\), 则
\[ \int_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]\mathrm{d}t \](二) 格林公式(\(L\)为\(D\)取正向的边界曲线, 沿正向移动, 区域在左侧)
\[ \oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d}\sigma \](三) 补线用格林公式
(四) 线积分与路径无关
(1) \(P(x,y),Q(x,y)\)在单连通域\(D\)上有一阶连续偏导数, 则
\(\displaystyle\int_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\)与路径无关
\(\Leftrightarrow\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\)
\(\Leftrightarrow\displaystyle\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0\)
\(\Leftrightarrow P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\mathrm{d}F(x,y)\)
i. 改换路径计算 ii. 利用原函数计算
(2) 对于复连通域\(0<x^2+y^2<+\infty\), 判断线积分与路径无关有如下方法:
i. 沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零.
ii. 沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等.
iii. \(P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\mathrm{d}F(x,y)\).
两类线积分的联系
\[ \oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\oint_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\mathrm{d}s \]
空间曲线积分的计算
(一) 直接法
\[ L:\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} ,t\in[\alpha,\beta] \], 起点\(t=\alpha\), 终点\(t=\beta\), 则
\[ \begin{aligned} &\int_LP(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\\ =&\int_{\alpha}^{\beta}\{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\}\mathrm{d}t \end{aligned} \](二) 非直接法
(1) 当\(\Sigma\)为平面时, 可以考虑化空间线积分为平面线积分(第二类), 然后用格林公式.
(2) 斯托克斯公式(\(L\)的方向与\(\Sigma\)的法方向符合右手法则)
i. 化为第一类面积分
\[ \oint_LP(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z=\iint\limits_\Sigma\left| \begin{array}{ccc} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma\\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[5pt] P & Q & R\\ \end{array}\right| \mathrm{d}S \]ii. 化为第二类面积分
\[ \begin{aligned} &\oint_LP(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\\ =&\iint\limits_\Sigma\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =&\iint\limits_\Sigma\left| \begin{array}{ccc} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[5pt] P & Q & R\\ \end{array}\right| \end{aligned} \]
第一类面积分
第一类面积分的计算
(一) 直接法
\(\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}\)(\(D_{xy}\)为\(\Sigma\)在\(xOy\)面上的投影域), 则
\[ \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \](二) 奇偶性 \(\Sigma\)关于\(xOy\)面对称, 则\(\displaystyle\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S\)关于\(z\)有奇偶性.
第二类面积分
第二类面积分的计算
(一) 直接法
(1) \(\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}\), 则
\[ \iint\limits_\Sigma R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]上侧为正, 下侧为负.
(2) \(\Sigma:x=x(y,z),(y,z)\in D_{yz}\), 则
\[ \iint\limits_\Sigma P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\pm\iint\limits_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]\mathrm{d}y\mathrm{d}z \]前侧为正, 后侧为负.
(3) \(\Sigma:y=y(z,x),(z,x)\in D_{zx}\), 则
\[ \iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\pm\iint\limits_{D_{zx}}Q[x,y(z,x),z]\mathrm{d}z\mathrm{d}x \]右侧为正, 左侧为负.
(二) 高斯公式
\[ \mathop{\Large ∯}\limits_{\Sigma_{\text{外}}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint\limits_{\Omega}\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d}v \](三) 补面用高斯公式(外侧为正, 内侧为负)
(四) 投影轮换法(一代二投三点积)
\(\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}\), 则
\[ \begin{aligned} &\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =&\iint\limits_{D_{xy}}\{P[x,y,z(x,y)],Q[x,y,z(x,y)],R[x,y,z(x,y)]\}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned} \]其中\(\boldsymbol{n}\)为曲面\(\Sigma\)的法向量\(\pm\{z'_x,z'_y,-1\}\).
两类面积分的联系
\[ \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S \]其中\((\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)为曲面\(\Sigma\)法向量的方向余弦.
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