本文是“信号与系统”系列的第 08 章，主题为“离散时间系统的频域分析”。

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离散时间傅里叶变换及其性质

离散时间傅里叶正变换(DTFT)
\[ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} \]

傅里叶变换收敛的条件
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty\quad\mbox{(绝对可加)} \]

傅里叶反变换
\[ x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}{\rm d}\omega \]

离散时间傅里叶变换的周期性
\[ X(e^{j(\omega+2m\pi)})=X(e^{j\omega}),m\mbox{为整数}\quad\mbox{(周期为}2\pi\mbox{)} \]

离散时间傅里叶变换的线性

若\(\mathscr{F}[x_1(n)]=X_1(e^{j\omega}),\mathscr{F}[x_2(n)]=X_2(e^{j\omega})\), 则
\[ \mathscr{F}[ax_1(n)+bx_2(n)]=aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega}) \]

离散时间傅里叶变换的平移特性

(1) 时移特性
\[ \mathscr{F}[x(n-n_0)]=e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega}) \]

(2) 频移特性
\[ \mathscr{F}[e^{j\omega_0n}x(n)]=X(e^{j(\omega-\omega_0)}) \]

离散时间傅里叶变换的对称性
\[ x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x^*(-n)]=x_e^*(-n)\quad\mbox{(共轭对称序列)} \]
\[ x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x^*(-n)]=-x_o^*(-n)\quad\mbox{(共轭反对称序列)} \]

序列	傅里叶变换
\(x(n)\)	\(X(e^{j\omega})\)
\(x^*(n)\)	\(X^*(e^{-j\omega})\)
\(x(-n)\)	\(X(e^{-j\omega})\)
\(x^*(-n)\)	\(X^*(e^{j\omega})\)
\(\mathcal{R}e[x(n)]\)	\(X_e(e^{j\omega})\)
\(j\mathcal{I}m[x(n)]\)	\(X_o(e^{j\omega})\)
\(x_e(n)\)	\(\mathcal{R}e[X(e^{j\omega})]\)
\(x_o(n)\)	\(j\mathcal{I}m[X(e^{j\omega})]\)

离散时间傅里叶变换的尺度变换

定义\(x_k(n)=\begin{cases} x\left(\dfrac{n}{k}\right),n\mbox{是}k\mbox{的整倍数}\\[2pt] 0,\mbox{其他} \end{cases}\), 则\(x_k(n)\)的傅里叶变换为
\[ X_k(e^{j\omega})=X(e^{jk\omega}) \]

离散时间傅里叶变换的时域差分性质(要求\(x(n)\)无直流分量)
\[ \mathscr{F}[x(n)-x(n-1)]=(1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega}) \]

离散时间傅里叶变换的频域微分性质
\[ \mathscr{F}^{-1}[X'(e^{j\omega})]=-jnx(n) \]

离散时间傅里叶变换的帕斯瓦尔定理
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2{\rm d}\omega \]

离散时间傅里叶变换的卷积定理

(1) 时域卷积定理
\[ \mathscr{F}[x_1(n)*x_2(n)]=X_1(e^{j\omega})\cdot X_2(e^{j\omega}) \]

(2) 频域卷积定理(调制性质)
\[ \mathscr{F}[x_1(n)\cdot x_2(n)]=\frac{1}{2\pi}X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega}) \]

常见离散时间信号的傅里叶变换

单位取样序列\(x(n)=\delta(n)\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=1 \]

矩形序列\(x(n)=\begin{cases} 1,|n|\leq N_1\\ 0,|n|>N_1 \end{cases}\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=\frac{\sin\omega\left(N_1+\dfrac{1}{2}\right)}{\sin\dfrac{\omega}{2}} \]

实指数序列的傅里叶变换

(1) 因果实指数序列\(x(n)=a^n\varepsilon(n),|a|<1\)
\[ X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}} \]

(2) 非因果实指数序列\(x(n)=a^n\varepsilon(-n),|a|>1\)
\[ X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-a^{-1}e^{j\omega}} \]

(3) 双边实指数序列\(x(n)=a^{|n|},|a|<1\)
\[ \begin{aligned} X(e^{j\omega})&=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}+\frac{1}{1-ae^{j\omega}}-1\\&=\frac{1-a^2}{1-2a\cdot\cos\omega+a^2} \end{aligned} \]

\(x(n)=(n+1)a^n\varepsilon(n),|a|<1\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=\frac{1}{(1-ae^{-j\omega})^2} \]

推广: \(x(n)=\dfrac{(n+r-1)!}{n!(r-1)!}a^n\varepsilon(n),|a|<1\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=\frac{1}{(1-ae^{-j\omega})^r} \]

单位阶跃序列\(x(n)=\varepsilon(n)\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k) \]

常数序列\(x(n)=L\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=2\pi L\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k) \]

连续时间直流信号的时域采样\(\Rightarrow\)频域周期延拓

抽样脉冲序列\(x(n)=\dfrac{\sin Wn}{\pi n},W<\pi\)的傅里叶变换
\[ X(e^{j\omega})=\begin{cases} 1,0\leq|\omega|\leq W\\ 0,W<|\omega|\leq\pi \end{cases}\quad\mbox{(频域矩形窗)} \]

离散系统的频率响应

离散时间系统的特征输入

已知系统的频率响应为\(H(e^{j\omega})=\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}h(n)e^{-j\omega n}=|H(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}\)

(1) 系统对\(x(n)=e^{j\omega_0n},-\infty<n<\infty\)的响应
\[ y(n)=H(e^{j\omega})\big|_{\omega=\omega_0}\cdot e^{j\omega_0n} \]

(2) 系统对\(x(n)=A\cos(\omega_0n+\varphi_0),-\infty<n<\infty\)的响应
\[ y(n)=A|H(e^{j\omega_0})|\cos[\omega_0n+\varphi_0+\varphi(\omega_0)] \]

离散时间系统的正弦稳态

已知系统的频率响应为\(H(e^{j\omega})=\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}h(n)e^{-j\omega n}=|H(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}\)

(1) 系统对\(x(n)=e^{j\omega_0n}\cdot\varepsilon(n)\)的稳态响应
\[ y(n)=H(e^{j\omega})\big|_{\omega=\omega_0}\cdot e^{j\omega_0n}\cdot\varepsilon(n) \]

(2) 系统对\(x(n)=A\cos(\omega_0n+\varphi_0)\cdot\varepsilon(n)\)的稳态响应
\[ y(n)=A|H(e^{j\omega_0})|\cos[\omega_0n+\varphi_0+\varphi(\omega_0)]\cdot\varepsilon(n) \]

补充知识点

求\(X(e^{j\omega})=e^{-j\omega/2}\)的傅里叶反变换(非整数延迟)

由于延迟时间不是一个整数, 故不能直接利用时移性质求得\(x(n)=\delta\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\).

离散时间傅里叶变换具有隐含周期性, 其在第一个周期内为
\[ \begin{aligned} X_1(e^{j\omega})&=e^{-j\omega/2},|\omega|<\pi\\ &=e^{-j\omega/2}[\varepsilon(\omega+\pi)-\varepsilon(\omega-\pi)]\\ &=X_c(\omega) \end{aligned} \]

其对应的连续时间傅里叶反变换为
\[ x_c(t)=\frac{\sin\pi\left(t-\dfrac{1}{2}\right)}{\pi\left(t-\dfrac{1}{2}\right)} \]

对连续信号\(x(t)\)进行C/D转换即可得到离散傅里叶反变换(\(T=1\))
\[ x(n)=x_c(t)\big|_{t=nT}=\frac{\sin\pi\left(n-\dfrac{1}{2}\right)}{\pi\left(n-\dfrac{1}{2}\right)} \]

离散对称矩形窗的表达式(共有\(2N_1+1\)点)
\[ \begin{aligned} x(n)&=\begin{cases} 1,|n|\leq N_1\\ 0,|n|>N_1 \end{cases}\\ &=\varepsilon(n+N_1)-\varepsilon(n-N_1-1) \end{aligned} \]

冲激信号与阶跃信号的尺度变换性质

连续时间	离散时间
\(\delta(at)=\dfrac{\delta(t)}{|a|}\)	\(\delta(an)=\delta(n)\)
\(\varepsilon(at)=\varepsilon(t),a>0\)	\(\varepsilon(an)=\varepsilon(n),a>0\)

常见复指数等式
\[ 1^n=e^{j0n}\quad(-1)^n=e^{j\pi n}\quad j^n=e^{j(\pi/2)n}\quad(-j)^n=e^{-j(\pi/2)n} \]

同一序列的不同形式
\[ (n+1)(n+2)(n+3)\varepsilon(n+3) \]
\[ (n+1)(n+2)(n+3)\varepsilon(n+2) \]
\[ (n+1)(n+2)(n+3)\varepsilon(n+1) \]
\[ (n+1)(n+2)(n+3)\varepsilon(n) \]
\[ (n+1)(n+2)(n+3)[\varepsilon(n-1)+\delta(n)] \]
\[ (n+1)(n+2)(n+3)\varepsilon(n-1)+6\delta(n) \]

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