本文是“信号与系统”系列的第 07 章，主题为“离散时间系统的时域分析”。

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离散时间信号

有限长序列的表示方法

(1) 分段函数表示
\[ x(n)=\begin{cases} x_{-1} & n=-1\\ x_0 & n=0\\ \cdots\\ x_k & n=k\\ 0 & \mbox{其他} \end{cases} \]

(2) 冲激函数表示
\[ x(n)=x_{-1}\delta(n+1)+x_0\delta(n)+\cdots+x_k\delta(n-k) \]

(3) 数列表示
\[ x(n)=\{x_{-1},\underline{x_0},\cdots,x_k\} \]
\[ x(n)=\{\underset{\underset{n=-1}{\uparrow}}{x_{-1}},x_0,\cdots,x_k\} \]

(4) 图像表示

单位阶跃序列\(\varepsilon(n)=\begin{cases} 1,n\geq0\\ 0,n<0 \end{cases}\)的性质

(1) 尺度变换性质
\[ \varepsilon(an)=\varepsilon(n),a>0 \]

(2) 卷积性质
\[ x(n)*\varepsilon(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k) \]

单位冲激序列\(\delta(n)=\begin{cases} 1,n=0\\ 0,\mbox{其他} \end{cases}\)的性质

(1) 尺度变换性质
\[ \delta(an)=\delta(n) \]

(2) 筛选性质
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\delta(n)=x(0) \]

(3) 求和性质
\[ \sum_{k=-\infty}^{n}\delta(k)=\varepsilon(n) \]
\[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(k)=1 \]

矩形序列\(G_N(n)=\begin{cases} 1,0\leq n\leq N-1\\ 0,\mbox{其他} \end{cases}\)的单位阶跃序列表示
\[ G_N(n)=\varepsilon(n)-\varepsilon(n-N)\quad\mbox{(总点数为}N\mbox{)} \]

复指数信号的周期性

连续时间 \(e^{j\omega_0t}\)	离散时间 \(e^{j\omega_0n}\)
\(T=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\)	若 \(\dfrac{2\pi}{\omega_0}\) 为无理数，则为非周期信号
	若 \(\dfrac{2\pi}{\omega_0}=\dfrac{m}{N}\)，则 \(T=m\)

离散系统的性质

离散系统的线性

线性系统满足
\[ T[c_1x_1(n)+c_2x_2(n)]=c_1T[x_1(n)]+c_2T[x_2(n)]=c_1y_1(n)+c_2y_2(n) \]

离散系统的非移变性

非移变系统满足
\[ T[x(n-k)]=y(n-k) \]

离散系统的稳定性

对于一般系统, 若每一个有界输入产生一个有界的输出, 则该系统为稳定系统(BIBO准则).

对于线性非移变系统, 稳定的充分必要条件为
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)<\infty|\quad\mbox{(绝对可加)} \]

离散系统的因果性

对于一般系统, 若其输出变化不会发生在输入变化之前, 则该系统为因果系统.

对于线性非移变系统, 因果的充分必要条件为
\[ h(n)=0,n<0 \]

常系数线性差分方程及其求解

常系数线性差分方程的求解方法

(1) 迭代法(用于求边界条件)

(2) 时域法(用于求零输入响应)

(3) 卷积法/\(z\)域法(用于求零状态响应)

常系数线性差分方程的特征方程

一般形式
\[ \sum_{k=0}^{N}a_ky(n-k)=\sum_{r=0}^{M}b_rx(n-r) \]

对应的齐次差分方程可表示为
\[ \sum_{k=0}^{N}a_ky(n-k)=0 \]

对应的特征方程为
\[ \sum_{k=0}^{N}a_k\alpha^{N-k}=0 \]

差分方程的齐次解

(1) 特征根为单根

若特征根为\(\alpha_k(k=1,2,\cdots,N)\), 且无重根, 则差分方程的齐次解为
\[ y_h(n)=\sum_{k=1}^{N}C_k\alpha_{k}^{n} \]

(2) 特征根有重根

若\(\alpha_1\)是特征方程的\(K\)重根, 即有\(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_K\), 则相应于\(\alpha_1\)的齐次解为
\[ y_h(n)=\sum_{k=1}^{K}C_kn^{K-k}\alpha_1^n=(C_1n^{K-1}+\cdots+C_{K-1}n+C_K)\alpha_1^n \]

(3) 特征根有复数根

若特征方程有复数根\(\alpha\pm j\beta\), 则相应的齐次解为
\[ \begin{aligned} y_h(n)&=C_1(\alpha+j\beta)^n+C_2(\alpha-j\beta)^n\\ &[=C_1(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}e^{j\arctan(\beta/\alpha)})^n+C_2(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}e^{-j\arctan(\beta/\alpha)})^n]\\ &=C_1r^ne^{j\omega n}+C_2r^ne^{-j\omega n}\\ &[=C_1r^n(\cos\omega n+j\sin\omega n)+C_2r^n(\cos\omega n-j\sin\omega n)]\\ &=A_1r^n\cos\omega n+jA_2r^n\sin\omega n \end{aligned} \]

差分方程的特解

激励函数 \(x(n)\)	特解 \(y_s(n)\)	条件
\(n^k\)	\(B_kn^k+B_{k-1}n^{k-1}+\cdots+B_1n+B_0\)	所有特征根均不等于 1
	\(n(B_1n+B_0)\)	有一个特征根等于 1
\(\alpha^n\)	\(B\alpha^n\)	\(\alpha\) 不是特征根
	\(Bn\alpha^n\)	\(\alpha\) 是特征单根
\(\cos\beta n\)	\(B_1\cos\beta n+B_2\sin\beta n\)	所有特征根均不等于 \(e^{\pm j\beta}\)
\(\sin\beta n\)

\(N\)阶差分方程的边界条件

完全响应
\[ y(n)=y_{zp}(n)+y_{zs}(n) \]

对于因果系统

(1) 求零输入响应\(y_{zp}(n)\)时利用\(y(-1),y(-2),\cdots,y(-N)\).

非因果时利用\(y(0),y(1),\cdots,y(N-1)\).

(2) 求零状态响应\(y_{zs}(n)\)时利用\(y_{zs}(0),y_{zs}(1),\cdots,y_{zs}(N-1)\).

条件：\(y(-1),y(-2),\cdots,y(-N)\)都等于零.

(3) 求完全响应\(y(n)\)时利用\(y(0),y(1),\cdots,y(N-1)\).

卷积和及其性质

卷积和
\[ y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)h(n-k) \]

若\(x(n)\)为\(N\)点长序列, \(h(n)\)为\(M\)点长序列, 则\(y(n)=x(n)*h(n)\)为\((N+M-1)\)点长序列.

卷积和的性质

(1) 交换律
\[ x(n)*h(n)=h(n)*x(n) \]

(2) 结合律
\[ h(n)*[x_1(n)*x_2(n)]=[h(n)*x_1(n)]*x_2(n) \]

(3) 分配律
\[ h(n)*[x_1(n)+x_2(n)]=h(n)*x_1(n)+h(n)*x_2(n) \]

卷积和的计算(错位相乘不进位法)

(1) 将两序列排成两行, 且按右端对齐.

(2) 作乘法运算, 但是不要进位.

(3) 将同一列的乘积值相加得到新序列.

(4) 检查起始点位置(若两序列分别从\(n=a\)和\(n=b\)开始, 则新序列从\(n=a+b\)开始).

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