本文是“信号与系统”系列的第 04 章，主题为“连续时间系统的频域分析”。

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线性系统的特征输入

一个冲激响应为\(h(t)\)的LTI系统对复指数信号\(e^{j(\omega_0t+\varphi_0)}\)的响应
\[ T[e^{j(\omega_0t+\varphi_0)}]=r(t)=e^{j(\omega_0t+\varphi_0)}\cdot H(j\omega_0) \]

推广到一般形式为
\[ T\left[\sum_{k}C_ke^{j(\omega_kt+\varphi_k)}\right]=\sum_{k}C_kH(j\omega_k)e^{j(\omega_kt+\varphi_k)} \]

LTI系统对正弦/余弦信号的响应

已知系统的频率响应\(H(j\omega)\)为
\[ H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)} \]

则
\[ T[\sin(\omega_0t+\varphi_0)]=|H(j\omega_0)|\cdot \sin[\omega_0t+\varphi_0+\varphi(\omega_0)] \]

同理
\[ T[\cos(\omega_0t+\varphi_0)]=|H(j\omega_0)|\cdot \cos[\omega_0t+\varphi_0+\varphi(\omega_0)] \]

线性系统的正弦稳态

系统的暂态响应和稳态响应

(1) 暂态响应是指激励信号接入后, 完全响应中暂时出现的分量. 完全响应中凡是按指数衰减的各项均为暂态响应, 随着时间的增长, 它将消失.

(2) 稳态响应是完全响应中除去暂态分量的部分, 它随着时间的增长仍然不趋于0, 通常是由阶跃函数或周期函数组成的.

LTI系统对复指数信号\(e^{j(\omega_0t+\varphi_0)}\cdot\varepsilon(t)\)的稳态响应
\[ T[e^{j(\omega_0t+\varphi_0)}\cdot\varepsilon(t)]=e^{j(\omega_0t+\varphi_0)}H(j\omega_0)\cdot\varepsilon(t) \]

LTI系统对正弦信号\(\sin(\omega_0t+\varphi_0)\cdot\varepsilon(t)\)的稳态响应

已知系统的频率响应\(H(j\omega)\)为
\[ H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)} \]

则
\[ T[\sin(\omega_0t+\varphi_0)\cdot\varepsilon(t)]=|H(j\omega_0)|\sin[\omega_0t+\varphi_0+\varphi(\omega_0)]\cdot\varepsilon(t) \]

同理
\[ T[\cos(\omega_0t+\varphi_0)\cdot\varepsilon(t)]=|H(j\omega_0)|\cos[\omega_0t+\varphi_0+\varphi(\omega_0)]\cdot\varepsilon(t) \]

特征输入与正弦稳态的区别

特征输入

(1) \(t\)在整个时域内取值, 即\(t\in(-\infty,+\infty)\).

(2) 当零输入响应\(r_{zp}(t)\)为0时, 使用特征输入求得的响应即为零状态响应\(r_{zs}(t)\).

正弦稳态

(1) 激励信号和输出信号中含有\(\varepsilon(t)\)项, 即\(t\in(0,+\infty)\).

(2) 使用正弦稳态求得的响应为稳态响应, 零状态响应可能既有暂态响应部分又有稳态响应部分.

线性系统的信号失真

信号无失真传输的时域条件
\[ r(t)=Ke(t-t_0) \]

信号无失真传输的频域条件
\[ R(j\omega)=KE(j\omega)e^{-j\omega t_0} \]

频率响应
\[ H(j\omega)=\frac{R(j\omega)}{E(j\omega)}=Ke^{-j\omega t_0} \]

幅频特性和相频特性
\[ |H(j\omega)|=K \]
\[ \varphi(\omega)=\arg H(j\omega)=-\omega t_0 \]

理想低通滤波器

理想低通滤波器的频率响应
\[ H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}=\begin{cases} e^{-j\omega t_0} & |\omega|\leq\omega_c\\ 0 & |\omega|>\omega_c \end{cases} \]

幅频特性和相频特性
\[ |H(j\omega)|=\begin{cases} 1 & |\omega|\leq\omega_c\\ 0 & |\omega|>\omega_c \end{cases} \]
\[ \varphi(\omega)=-\omega t_0 \]

对\(H(j\omega)\)进行傅里叶反变换可得其冲激响应
\[ h(t)=\mathscr{F}^{-1}[H(j\omega)]=\frac{\omega_c}{\pi}Sa[\omega_c(t-t_0)] \]

理想低通滤波器的阶跃响应

阶跃信号\(\varepsilon(t)\)的频谱
\[ E(j\omega)=\mathscr{F}[\varepsilon(t)]=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} \]

输出信号的频谱
\[ R(j\omega)=H(j\omega)E(j\omega)=\left[\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\right]e^{-j\omega t_0},|\omega|\leq\omega_c \]

对\(R(j\omega)\)进行傅里叶反变换可得其阶跃响应
\[ \begin{aligned} r(t)=\mathscr{F}^{-1}[R(j\omega)]&=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}\frac{\sin[\omega(t-t_0)]}{\omega}{\rm d}\omega\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}Si[\omega_c(t-t_0)] \end{aligned} \]

其中\(Si(y)\)为正弦积分
\[ Si(y)=\int_{0}^{y}\frac{\sin x}{x}{\rm d}x \]

(1)定义上升时间\(t_r\)为输出自最小值上升至最大值所需的时间
\[ t_r=2\cdot\frac{\pi}{\omega_c} \]

(2)滤波器的带宽\(B\)与截止频率\(\omega_c\)的关系
\[ B=f_c=\frac{\omega_c}{2\pi} \]

(3)上升时间\(t_r\)与带宽\(B\)的关系
\[ t_r=\frac{1}{B} \]

理想低通滤波器的矩形脉冲响应

若输入信号为矩形脉冲
\[ e_p(t)=\varepsilon(t)-\varepsilon(t-\tau) \]

则滤波器对\(e_p(t)\)的响应
\[ r_p(t)=\frac{1}{\pi}\{Si[\omega_c(t-t_0)]-Si[\omega_c(t-t_0-\tau)]\} \]

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