信号与系统 Ch03：连续信号的傅里叶分析
最后更新时间:
文章总字数:
预计阅读时间:
上一篇：连续时间系统的时域分析 · 下一篇：连续时间系统的频域分析本文是“信号与系统”系列的第 03 章，主题为“连续信号的傅里叶分析”。
傅里叶级数
傅里叶级数的三角形式
\[ \begin{aligned} f(t)&=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\cos n\omega_1t+b_n\sin n\omega_1t)\\ &=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_1t+b_n\sin n\omega_1t) \end{aligned} \]其中\(\omega_1=\dfrac{2\pi}{T_1}\), 直流分量\(a_0\)满足
\[ a_0=\frac{1}{T_1}\int_{T_1}f(t){\rm d}t \]傅里叶系数\(a_n\)和\(b_n\)满足
\[ a_n=\frac{2}{T_1}\int_{T_1}f(t)\cos n\omega_1t{\rm d}t\quad\mbox{(偶对称)} \]
\[ b_n=\frac{2}{T_1}\int_{T_1}f(t)\sin n\omega_1t{\rm d}t\quad\mbox{(奇对称)} \]
傅里叶级数的三角形式变体
\[ \begin{aligned} f(t)&=C_0+\sum_{n=1}^{\infty}C_n\cos(n\omega_1t+\varphi_n)\\ &=D_0+\sum_{n=1}^{\infty}D_n\sin(n\omega_1t+\theta_n) \end{aligned} \]傅里叶系数之间的关系
\[ \begin{cases} C_0=D_0=a_0\\ C_n=D_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\[2pt] \varphi_n=-\arctan\dfrac{b_n}{a_n}\\[8pt] \theta_n=\arctan\dfrac{a_n}{b_n} \end{cases} \](1) 一般把频率为\(\omega_1\)的分量称为基波, 频率为\(2\omega_1\)、\(3\omega_1\)等分量称为二次、三次谐波等.
(2) \(C_n\)与\(n\omega_1\)的频谱关系图称为单边幅度谱, \(\varphi_n\)与\(n\omega_1\)的频谱关系图称为单边相位谱.
傅里叶级数的复指数形式
\[ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega_1t} \]傅里叶级数的系数\(F_n\)
\[ F_n=\frac{1}{T_1}\int_{T_1}f(t)e^{-jn\omega_1t}{\rm d}t \]傅里叶系数之间的关系
\[ \begin{cases} F_0=a_0\\[2pt] F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}=\dfrac{1}{2}(a_n-jb_n)\\[8pt] F_{-n}=|F_{-n}|e^{-j\varphi_n}=\dfrac{1}{2}(a_n+jb_n) \end{cases} \](1) 若\(f(t)\)为实信号, 则\(F_n^*=F_{-n}\).
(2) \(|F_n|\)与\(n\omega_1\)的频谱关系图称为双边幅度谱, \(\varphi_n\)与\(n\omega_1\)的频谱关系图称为双边相位谱.
(3) 双边谱具有对称性: 幅度偶对称, 相位奇对称.
(4) 双边谱与单边谱之间的关系
\[ \begin{cases} |F_n|=\dfrac{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{2}=\dfrac{1}{2}|C_n|\mbox{, 相位相同} & n>0\\[2pt] F_0=C_0 & n=0\\ \mbox{利用双边谱的对称性得到幅度谱和相位谱} & n<0 \end{cases} \]
具有对称性的周期信号的傅里叶系数
奇谐信号满足
\[ f(t)=-f\left(t\pm\frac{T_1}{2}\right) \]偶谐信号满足
\[ f(t)=f\left(t\pm\frac{T_1}{2}\right) \](1) 奇函数只包括正弦分量, 不包括余弦分量和直流分量.
(2) 偶函数只包括余弦分量和直流, 不包括正弦分量.
(3) 奇谐函数只包括奇次谐波的正余弦分量.
(4) 偶谐函数只包括偶次谐波的正余弦分量以及直流分量.
脉冲幅度为\(E\), 宽度为\(\tau\)的周期矩形脉冲, 其周期为\(T_1(\omega_1=\dfrac{2\pi}{T_1})\).
在一个周期内\((-\dfrac{\tau}{2}\leq t\leq\dfrac{\tau}{2})\)的表示式为
\[ f(t)=E\left[\varepsilon\left(t+\frac{\tau}{2}\right)-\varepsilon\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\right] \]傅里叶系数为
\[ F_n=\frac{E\tau}{T_1}Sa\left(\frac{n\omega_1\tau}{2}\right) \]
傅里叶变换及其性质
傅里叶正变换
\[ F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t \]傅里叶反变换
\[ f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega \]
傅里叶变换的线性
若\(\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega)\), \(\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)\), 则
\[ \mathscr{F}[a_1f_1(t)+a_2f_2(t)]=a_1F_1(\omega)+a_2F_2(\omega) \]
傅里叶变换的反折和共轭
\[ \mathscr{F}[f(-t)]=F(-\omega) \]
\[ \mathscr{F}[f^*(-t)]=F^*(\omega) \]
\[ \mathscr{F}[f^*(t)]=F^*(-\omega) \]
傅里叶变换的奇偶虚实性
频谱 \(f(t)\) 为实信号 \(f(t)\) 为虚信号 偶对称 奇对称 偶对称 奇对称 \(F(\omega)\) 实偶 虚奇 虚偶 实奇 \(R(\omega)\) 偶对称 奇对称 \(X(\omega)\) 奇对称 偶对称 \(|F(\omega)|\) 偶对称 偶对称 \(\varphi(\omega)\) 奇对称 \(\pi-\varphi(-\omega)\)
傅里叶变换的对称性
\[ F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]\Rightarrow\mathscr{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega) \]
傅里叶变换的尺度变换
\[ \mathscr{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right) \]
傅里叶变换的平移特性
(1) 时移特性
\[ \mathscr{F}[f(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}F(\omega) \](2) 频移特性
\[ \mathscr{F}[f(t)e^{j\omega_0t}]=F(\omega-\omega_0) \]
\[ \mathscr{F}[f(t)\cos\omega_0t]=\mathscr{F}\left[\frac{1}{2}f(t)e^{j\omega_0t}+\frac{1}{2}f(t)e^{-j\omega_0t}\right]=\frac{1}{2}[F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)] \]
\[ \mathscr{F}[f(t)\sin\omega_0t]=\mathscr{F}\left[\frac{1}{2j}f(t)e^{j\omega_0t}-\frac{1}{2j}f(t)e^{-j\omega_0t}\right]=\frac{1}{2j}[F(\omega-\omega_0)-F(\omega+\omega_0)] \]
傅里叶变换的卷积定理
(1) 时域卷积定理
若\(\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega)\), \(\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)\), 则
\[ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega) \](2) 频域卷积定理
若\(\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega)\), \(\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)\), 则
\[ \mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) \]
傅里叶变换的微积分特性
(1) 时域微分特性(要求\(f(t)\)无直流分量)
\[ \mathscr{F}[f'(t)]=j\omega F(\omega) \](2) 频域微分特性(要求\(F(\omega)\)无直流分量)
\[ \mathscr{F}^{-1}[F'(\omega)]=-jtf(t) \](3) 时域积分特性(要求\(f(-\infty)=0\))
\[ \mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau){\rm d}\tau\right]=\mathscr{F}[f(t)*\varepsilon(t)]=\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}F(\omega) \](4) 频域积分特性(要求\(F(-\infty)=0\))
\[ \mathscr{F}^{-1}\left[\int_{-\infty}^{\omega}F(\eta){\rm d}\eta\right]=\pi f(0)\delta(t)+\frac{1}{-jt}f(t) \]
傅里叶变换的帕斯瓦尔定理
(1) 能量信号(非周期信号)
\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2{\rm d}t&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2{\rm d}\omega\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}|F(f)|^2{\rm d}f \end{aligned} \](2) 功率信号(周期信号)
\[ \begin{aligned} P&=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2{\rm d}t\\ &=a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\\ &=C_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}C_n^2\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2 \end{aligned} \]
常见非周期信号的傅里叶变换
单位冲激信号\(f(t)=\delta(t)\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=1 \]冲激偶信号\(f(t)=\delta'(t)\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=j\omega \]
直流信号\(f(t)=E\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=2\pi E\delta(\omega) \]
符号函数\(f(t)=sgn(t)=\begin{cases} 1 & t>0\\ -1 & t<0 \end{cases}\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\frac{2}{j\omega} \]单位阶跃信号\(\varepsilon(t)\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\mathscr{F}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)\right]=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} \]
时域矩形窗\(f(t)=E\left[\varepsilon\left(t+\dfrac{\tau}{2}\right)-\varepsilon\left(t-\dfrac{\tau}{2}\right)\right]\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=E\tau Sa\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)=\mbox{脉高}\times\mbox{脉宽}\times Sa\left(\omega\frac{\mbox{脉宽}}{2}\right) \]
时域三角窗\(f(t)=\begin{cases} E\left(1-\dfrac{2|t|}{\tau}\right) & |t|\leq\dfrac{\tau}{2}\\[8pt] 0 & |t|>\dfrac{\tau}{2} \end{cases}\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\frac{E\tau}{2}Sa^2\left(\frac{\omega\tau}{4}\right)=\mbox{脉高}\times\frac{\mbox{脉宽}}{2}\times Sa^2\left(\omega\frac{\mbox{脉宽}}{4}\right) \]
抽样脉冲信号\(f(t)=Sa(\omega_ct)=\dfrac{\sin\omega_ct}{\omega_ct}\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\frac{\pi}{\omega_c}[\varepsilon(\omega+\omega_c)-\varepsilon(\omega-\omega_c)] \]频域矩形窗\(G_{2\omega_c}(\omega)=E[\varepsilon(\omega+\omega_c)-\varepsilon(\omega-\omega_c)]\)
\[ \mathscr{F}^{-1}[G_{2\omega_c}(\omega)]=E\frac{\sin\omega_ct}{\pi t} \]\(f(t)=Sa^2(\omega_ct)\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\begin{cases} \dfrac{\pi}{\omega_c}\left(1-\dfrac{|\omega|}{2\omega_c}\right) & |\omega|\leq2\omega_c\\[2pt] 0 & |\omega|>2\omega_c \end{cases} \]
单边指数信号\(f(t)=e^{-at}\cdot\varepsilon(t),a>0\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\frac{1}{a+j\omega} \]双边指数信号\(f(t)=e^{-a|t|},a>0,-\infty<t<\infty\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2} \]
周期信号的傅里叶变换
复指数信号\(f(t)=e^{\pm j\omega_1t}\)的傅里叶变换
\[ \mathscr{F}[1\cdot e^{j\omega_1t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_1) \]
\[ \mathscr{F}[1\cdot e^{-j\omega_1t}]=2\pi\delta(\omega+\omega_1) \]
正弦信号\(f(t)=\sin\omega_1t\)和余弦信号\(f(t)=\cos\omega_1t\)的傅里叶变换
\[ \mathscr{F}[\cos\omega_1t]=\frac{1}{2}\mathscr{F}[e^{j\omega_1t}]+\frac{1}{2}\mathscr{F}[e^{-j\omega_1t}]=\pi[\delta(\omega-\omega_1)+\delta(\omega+\omega_1)] \]
\[ \mathscr{F}[\sin\omega_1t]=\frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_1)-\delta(\omega+\omega_1)] \]
一般周期信号\(f(t)\)的傅里叶变换
\[ F(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\delta(\omega-n\omega_1) \]
周期信号的傅里叶系数\(F_n\)和主周期信号的傅里叶变换\(F_0(\omega)\)的关系
\[ F_n=\frac{1}{T_1}F_0(\omega)\big|_{\omega=n\omega_1} \]
周期冲激序列\(\delta_T(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_1)\)的傅里叶级数和傅里叶变换
\[ F_0(\omega)=\mathscr{F}[\delta(t)]=1 \]
\[ F_n=\frac{1}{T_1}F_0(\omega)\big|_{\omega=n\omega_1}=\frac{1}{T_1} \]
\[ F(\omega)=\mathscr{F}[\delta_T(t)]=\omega_1\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_1) \]
抽样定理
时域冲激抽样
时域抽样过程是通过抽样脉冲信号\(p(t)\)与连续信号\(f(t)\)相乘得到的, 即
\[ f_s(t)=f(t)\cdot p(t) \]根据频域卷积定理, 可得抽样信号\(f_s(t)\)的频谱为
\[ F_s(\omega)=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*P(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}P_nF(\omega-n\omega_s) \]若抽样脉冲\(p(t)\)是周期冲激序列\(\delta_T(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\), 则冲激抽样信号\(f_s(t)\)的频谱为
\[ F_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\omega_s}{2\pi}F(\omega-n\omega_s)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) \]
时域抽样定理
若连续信号\(f(t)\)的频谱占据\((-\omega_m)\)至\((+\omega_m)\)的范围, 此信号称为频谱受限信号, 则不产生频谱混叠的条件为, 抽样角频率\(\omega_s\)必须大于或等于\(2\omega_m\), 即
\[ \omega_s\geq2\omega_m \]或抽样周期
\[ T_s\leq\frac{1}{2f_m} \]满足抽样定理条件的最小抽样率\(\omega_{s\min}=2\omega_m\)或\(f_s=2f_m\)称为奈奎斯特频率, 最大允许抽样周期\(T_{s\max}=\dfrac{1}{2f_m}\)称为奈奎斯特周期.
奈奎斯特频率的规律
卷小和大积相加. 若\(h_1(t)\)的截止频率为\(\omega_1\), \(h_2(t)\)的截止频率为\(\omega_2\), 则
\(h_1(t)*h_2(t)\)的奈奎斯特频率为\(2\cdot\{\omega_1,\omega_2\}_{\min}\)
\(h_1(t)+h_2(t)\)的奈奎斯特频率为\(2\cdot\{\omega_1,\omega_2\}_{\max}\)
\(h_1(t)\cdot h_2(t)\)的奈奎斯特频率为\(2\cdot(\omega_1+\omega_2)\)
上一篇：连续时间系统的时域分析 · 下一篇：连续时间系统的频域分析