信号与系统 Ch02：连续时间系统的时域分析

文章发布时间:

2026-07-23

最后更新时间:

2026-07-24

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本文是“信号与系统”系列的第 02 章，主题为“连续时间系统的时域分析”。

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微分方程的建立

电阻端口电流与电压的关系
\[ u_R(t)=Ri_R(t) \]

电感端口电流与电压的关系
\[ u_L(t)=L\frac{\mathrm{d}i_L(t)}{\mathrm{d}t} \]
\[ i_L(t)=i_L(0^-)+\frac{1}{L}\int_{0}^{t}u_L(\tau){\rm d}\tau \]

电容端口电流与电压的关系
\[ i_C(t)=C\frac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t} \]
\[ u_C(t)=u_C(0^-)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i_C(\tau){\rm d}\tau \]

微分方程的求解

微分方程的齐次解(自由响应)

(1) 特征根为单根

如果\(n\)个特征根各不相同(无重根), 则微分方程的齐次解为
\[ r_c(t)=\sum_{i=1}^{n}A_ie^{\lambda_it} \]

(2) 特征根有重根

如果\(\lambda_1\)是特征方程的\(k\)重根, 即有\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k\), 而其余\((n-k)\)个根\(\lambda_{k+1},\lambda_{k+2},\cdots,\lambda_n\)都是单根, 则微分方程的齐次解为
\[ r_c(t)=\sum_{i=1}^{k}A_it^{k-i}e^{\lambda_it}+\sum_{j=k+1}^{n}A_je^{\lambda_jt} \]

微分方程的特解(强迫响应)

激励函数 \(e(t)\) 特解 \(r_p(t)\)

\(E\)（常数） \(B\)
\(t^p\) \(B_pt^p+B_{p-1}t^{p-1}+\cdots+B_1t+B_0\)
\(e^{\alpha t}\) \(Be^{\alpha t}\)，\(\alpha\) 不是特征根
\(Bt^ke^{\alpha t}\)，\(\alpha\) 是 \(k\) 重特征根
\(\cos\beta t\) \(B_1\cos\beta t+B_2\sin\beta t\)
\(\sin\beta t\)

特解仅在\(t>0\)时成立.

激励函数 \(e(t)\)	特解 \(r_p(t)\)
\(E\)（常数）	\(B\)
\(t^p\)	\(B_pt^p+B_{p-1}t^{p-1}+\cdots+B_1t+B_0\)
\(e^{\alpha t}\)	\(Be^{\alpha t}\)，\(\alpha\) 不是特征根
\(Bt^ke^{\alpha t}\)，\(\alpha\) 是 \(k\) 重特征根
\(\cos\beta t\)	\(B_1\cos\beta t+B_2\sin\beta t\)
\(\sin\beta t\)

零输入响应与零状态响应

线性非时变系统的完全响应
\[ r(t)=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}A_{zp_i}e^{\lambda_it}}_{\text{零输入响应\(r_{zp}(t)\)}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{n}A_{zs_i}e^{\lambda_it}+r_p(t)}_{\text{零状态响应\(r_{zs}(t)\)}}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}A_ie^{\lambda_it}}_{\text{自由相应}}+\underbrace{r_p(t)}_{\text{强迫响应}} \]

求解的进阶技巧

(1) 零输入响应在时域求解, 零状态响应在\(s\)域求解.
\[ r_{zs}(t)=h(t)*e(t)\Leftrightarrow R_{zs}(s)=H(s)\cdot E(s) \]

(2) 完全响应中与系统函数\(H(s)\)极点有关的响应为自由响应, 其余为强迫响应.

初始条件的确定
\[ \underbrace{r^{(k)}(0^+)}_{\text{初始条件}}=\underbrace{r^{(k)}(0^-)}_{\text{起始状态}}+\underbrace{r_{zs}^{(k)}(0^+)}_{\text{跳变量}} \]

\[ r(0^+)=r(t)\big|_{t=0} \]

\[ r(0^-)=r_{zp}(t)\big|_{t=0} \]

\[ r_{zs}(0^+)=r_{zs}(t)\big|_{t=0} \]

求响应及其各阶导数在激励函数不连续点处的跳变量(冲激响应待定系数匹配法)

设
\[ \begin{cases} r''(t)=A\delta'(t)+B\delta(t)+C\varepsilon(t)\\ r'(t)=A\delta(t)+B\varepsilon(t)\\ r(t)=A\varepsilon(t) \end{cases} \]

则
\[ \begin{cases} r_{zs}''(0^+)=C\\ r_{zs}'(0^+)=B\\ r_{zs}(0^+)=A \end{cases} \]

卷积积分及其性质

卷积积分
\[ r(t)=e(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e(\tau)h(t-\tau){\rm d}\tau \]

卷积积分的性质

(1) 交换律
\[ f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t) \]

(2) 分配律
\[ f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t) \]

(3) 结合律
\[ [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)=f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)] \]

(4) 微分和积分

若\(f(t)=f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)\), 则
\[ f^{(i)}(t)=f_1^{(j)}(t)*f_2^{(i-j)}(t) \]

(5) 尺度变换性质

若\(f(t)=f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)\), 则
\[ |a|f\left(\frac{t}{a}\right)=f_1\left(\frac{t}{a}\right)*f_2\left(\frac{t}{a}\right) \]

(6) 时移性质

若\(f(t)=f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)\), 则
\[ f(t-t_0)=f_1(t)*f_2(t-t_0)=f_1(t-t_0)*f_2(t) \]
\[ f(t-t_1-t_2)=f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f_1(t-t_2)*f_2(t-t_1) \]

与冲激函数或阶跃函数的卷积
\[ f(t)*\delta^{(k)}(t)=f^{(k)}(t) \]
\[ f(t)*\delta^{(k)}(t-t_0)=f^{(k)}(t-t_0) \]

两个不同宽度的矩形脉冲卷积

若\(f_1(t)\)的脉宽为\(\tau_1\), 脉高为\(E_1\); \(f_2(t)\)的脉宽为\(\tau_2(\tau_1>\tau_2)\), 脉高为\(E_2\). 则\(f_1(t)*f_2(t)\)的结果为梯形, 其上底宽为\((\tau_1-\tau_2)\), 下底宽为\((\tau_1+\tau_2)\), 高为\(E_1\cdot E_2\cdot\tau_2\).

具有对称性的函数卷积
\[ \mbox{偶函数}*\mbox{奇函数}=\mbox{奇函数} \]
\[ \mbox{偶函数}*\mbox{偶函数}=\mbox{偶函数} \]
\[ \mbox{奇函数}*\mbox{奇函数}=\mbox{偶函数} \]

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