本文是“信号与系统”系列的第 01 章，主题为“信号的函数表示与系统分析方法”。

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信号的能量与功率

能量有限信号的信号能量\(E\)
\[ E=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2{\rm d}t \]

功率有限信号的平均功率\(P\)
\[ P=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2{\rm d}t \]

连续信号的分解

直流分量与交流分量
\[ f(t)=f_d+f_a(t) \]

信号直流分量\(f_d\)即信号平均值
\[ \lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t){\rm d}t \]

实信号的偶分量与奇分量
\[ f(t)=f_e(t)+f_o(t) \]

偶分量为\(f_e(t)=Ev\{f(t)\}=\dfrac{f(t)+f(-t)}{2}\), 满足\(f_e(t)=f_e(-t)\).

奇分量为\(f_o(t)=Od\{f(t)\}=\dfrac{f(t)-f(-t)}{2}\), 满足\(f_o(t)=-f_o(-t)\).

复信号的共轭对称分量与共轭反对称分量
\[ f(t)=f_e(t)+f_o(t) \]

共轭对称分量为\(f_e(t)=\dfrac{f(t)+f^*(-t)}{2}\), 满足\(f_e(t)=f_e^*(-t)\).

共轭反对称分量为\(f_o(t)=\dfrac{f(t)-f^*(-t)}{2}\), 满足\(f_o(t)=-f_o^*(-t)\).

常见连续信号的性质

抽样函数\(Sa(t)=\dfrac{\sin t}{t}\)的性质
\[ Sa(t)=Sa(-t)\quad\mbox{(实偶函数)} \]
\[ \int_{0}^{\infty}Sa(t){\rm d}t=\frac{\pi}{2} \]
\[ \int_{-\infty}^{\infty}Sa(t){\rm d}t=\pi \]

\(\sin c(t)\)函数与\(Sa(t)\)函数相似.
\[ \sin c(t)=\frac{\sin\pi t}{\pi t} \]

单位冲激信号\(\delta(t)\)的性质

(1) 归一性质
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t){\rm d}t=1 \]
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0){\rm d}t=1 \]

(2) 筛分性质
\[ f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) \]
\[ f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0) \]

(3) 抽样性质
\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t){\rm d}t=f(0) \]
\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0){\rm d}t=f(t_0) \]

(4) 奇偶性质
\[ \delta(t)=\delta(-t)\quad\mbox{(偶函数)} \]

(5) 复合函数化简性质

令\(f(t)=0\), 方程根为\(t_0,t_1,\cdots,t_n\), 则\(\delta[f(t)]\)可以化简为
\[ \delta[f(t)]=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{|f'(t_i)|}\delta(t-t_i) \]

(6) 尺度变换性质
\[ \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t) \]
\[ \delta^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}\delta^{(n)}(t) \]

(7) 卷积性质
\[ f(t)*\delta(t-t_0)=\delta(t-t_0)*f(t)=f(t-t_0) \]
\[ f(t-t_1)*\delta(t-t_2)=f(t-t_2)*\delta(t-t_1)=f(t-t_1-t_2) \]

(8) 积分性质
\[ \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau){\rm d}\tau=\varepsilon(t) \]

单位阶跃信号\(\varepsilon(t)\)的性质

(1)尺度变换性质
\[ \varepsilon(at)=\varepsilon(t),a>0 \]

(2)卷积性质
\[ f(t)*\varepsilon(t-t_0)=\int_{-\infty}^{t-t_0}f(\tau){\rm d}\tau \]
\[ f(t)\varepsilon(t)*\varepsilon(t)=\int_0^{t}f(\tau){\rm d}\tau \]

(3) 规定函数值
\[ \varepsilon(0)=\frac{1}{2}[\varepsilon(0^-)+\varepsilon(0^+)]=\frac{1}{2} \]

与符号函数\(sgn(t)\)的关系
\[ sgn(t)=2\varepsilon(t)-1 \]

冲激偶信号\(\delta'(t)\)的性质

(1) 奇偶性质
\[ \delta'(t)=-\delta'(-t)\quad\mbox{(奇函数)} \]

(2) 积分性质
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\delta'(t){\rm d}t=0 \]

(3) 乘积性质
\[ f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t) \]
\[ f(t)\delta'(t-t_0)=f(t_0)\delta'(t-t_0)-f'(t_0)\delta(t-t_0) \]

(4) 抽样性质
\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta'(t){\rm d}t=f(t)\delta(t)\Big|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}f'(t)\delta(t){\rm d}t=-f'(0) \]
\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta'(t-t_0){\rm d}t=-f'(t_0) \]

(5) 卷积性质
\[ f(t)*\delta'(t-t_0)=f'(t-t_0) \]

连续系统的性质

连续系统的线性

线性系统满足
\[ T[a_1e_1(t)+a_2e_2(t)]=a_1T[e_1(t)]+a_2T[e_2(t)]=a_1r_1(t)+a_2r_2(t) \]

连续系统的非时变性

非时变系统满足
\[ T[e(t-t_0)]=r(t-t_0) \]

连续系统的因果性

输入发生在输出之前(因在果前), 则为因果系统.

只要\(t_{in}>t_{out}\)有解, 则该系统一定非因果.

连续系统的稳定性

给定有限的输入产生有限的输出, 则为稳定系统(BIBO准则).

线性非时变系统稳定的充分必要条件
\[ \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|{\rm d}t<\infty\quad\mbox{(绝对可积)} \]

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