信号与系统 Ch05：拉普拉斯变换
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上一篇：连续时间系统的频域分析 · 下一篇：连续时间系统的 s 域分析本文是“信号与系统”系列的第 05 章，主题为“拉普拉斯变换”。
拉氏变换及其收敛域
双边拉氏正变换
\[ F_b(s)=\mathscr{L}_b[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}{\rm d}t \]其中
\[ s=\sigma+j\omega \]双边拉氏反变换
\[ f(t)=\mathscr{L}_b^{-1}[F_b(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_b(s)e^{st}{\rm d}s \]
单边拉氏正变换
\[ F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}{\rm d}t \]单边拉氏反变换
\[ f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}{\rm d}s,t>0 \]
拉氏变换收敛域(ROC)的性质
(1) 有理拉氏变换的收敛域内不包括任何极点.
(2) 如果\(f(t)\)是一个因果信号(右边信号), \(\mathcal{R}e[s]=\sigma_0\)这条收敛轴位于收敛域的边界, 则\(F(s)\)收敛域位于这个收敛轴的右边, 即\(\mathcal{R}e[s]>\sigma_0\).
(3) 如果\(f(t)\)是一个非因果信号(左边信号), \(\mathcal{R}e[s]=\sigma_0\)这条收敛轴位于收敛域的边界, 则双边拉氏变换\(F_b(s)\)收敛域位于这个收敛轴的左边, 即\(\mathcal{R}e[s]<\sigma_0\).
(4) 如果\(f(t)\)由因果信号部分和非因果信号部分组成(双边信号), 而且收敛轴\(\sigma=\sigma_1\)与\(\sigma=\sigma_2\)位于收敛域边界, 且\(\sigma_2>\sigma_1\), 则双边拉氏变换\(F_b(s)\)的收敛域是收敛轴\(\sigma=\sigma_1\)和\(\sigma=\sigma_2\)之间的一条带状区域, 即\(\sigma_1<\mathcal{R}e[s]<\sigma_2\).
(5) 对于有限持续时间的\(f(t)\)信号(时限信号), \(F(s)\)的收敛域是整个\(s\)平面, 此时\(F(s)\)只有零点, 没有极点.
拉氏变换的性质
单边拉氏变换
单边拉氏变换的线性
若\(\mathscr{L}[f_1(t)]=F_1(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_1\), \(\mathscr{L}[f_2(t)]=F_2(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_2\), 则
\[ \mathscr{L}[a_1f_1(t)+a_2f_2(t)]=a_1F_1(s)+a_2F_2(s),\mathcal{R}e[s]>\max[\sigma_1,\sigma_2] \]
单边拉氏变换的平移特性
(1) 时移特性
\[ \mathscr{L}[f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \](2) \(s\)域平移特性
\[ \mathscr{L}[e^{s_0t}f(t)]=F(s-s_0),\mathcal{R}e[s]>\mathcal{R}e[s_0]+\sigma_0 \]
单边拉氏变换的尺度变换
\[ \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right),\mathcal{R}e[s]>a\sigma_0 \]
单边拉氏变换的微积分特性
(1) 时域微分
\[ \mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0^-),\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \]
\[ \mathscr{L}[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0^-)-f'(0^-),\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \]
\[ \mathscr{L}[f'''(t)]=s^3F(s)-s^2f(0^-)-sf'(0^-)-f''(0^-),\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \]推广到\(f(t)\)的\(n\)阶导数的单边拉氏变换为
\[ \mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-\sum_{m=0}^{n-1}s^{n-m-1}f^{(m)}(0^-),\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \](2) \(s\)域微分
\[ \mathscr{L}[(-t)f(t)]=F'(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \](3) 时域积分
\[ \mathscr{L}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau){\rm d}\tau\right]=\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0^-)}{s},\mathcal{R}e[s]>\max[\sigma_0,0] \]其中
\[ f^{(-1)}(0^-)=\int_{-\infty}^{0^-}f(\tau){\rm d}\tau \](4) \(s\)域积分
\[ \mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_{s}^{\infty}F(\eta){\rm d}\eta,\mathcal{R}e[s]>\sigma_0 \]
单边拉氏变换的卷积定理
(1) 时域卷积定理
若\(\mathscr{L}[f_1(t)]=F_1(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_1\), \(\mathscr{L}[f_2(t)]=F_2(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_2\), 则
\[ \mathscr{L}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s),\mathcal{R}e[s]>\max[\sigma_1,\sigma_2] \](2) 复频域卷积定理
若\(\mathscr{L}[f_1(t)]=F_1(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_1\), \(\mathscr{L}[f_2(t)]=F_2(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_2\), 则
\[ \mathscr{L}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi j}F_1(s)*F_2(s),\mathcal{R}e[s]>\sigma_1+\sigma_2 \]
拉氏变换的初值定理
若\(\lim\limits_{t\rightarrow0^+}f(t)\)存在, 且\(F(s)\)为真分式, 则
\[ \lim\limits_{t\rightarrow0^+}f(t)=f(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}sF(s) \]
拉氏变换的终值定理
若\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty}f(t)\)存在(极点在\(s\)左半平面), 则
\[ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow0}sF(s) \]
双边拉氏变换
双边拉氏变换的线性
若\(\mathscr{L}_b[f_1(t)]=F_1(s),\alpha_1<\mathcal{R}e[s]<\beta_1\), \(\mathscr{L}_b[f_2(t)]=F_2(s),\alpha_2<\mathcal{R}e[s]<\beta_2\), 则
\[ \mathscr{L}_b[a_1f_1(t)+a_2f_2(t)]=a_1F_{b1}(s)+a_2F_{b2}(s),\max[\alpha_1,\alpha_2]<\mathcal{R}e[s]<\min[\beta_1,\beta_2] \]
双边拉氏变换的平移特性
(1) 时移特性
\[ \mathscr{L}_b[f(t-t_0)]=e^{-st_0}F_b(s),\alpha<\mathcal{R}e[s]<\beta \](2) \(s\)域平移特性
\[ \mathscr{L}_b[e^{s_0t}f(t)]=F(s-s_0),\alpha+\mathcal{R}e[s_0]<\mathcal{R}e[s]<\beta+\mathcal{R}e[s_0] \]
双边拉氏变换的尺度变换
\[ \mathscr{L}_b[f(at)]=\frac{1}{|a|}F_b\left(\frac{s}{a}\right),|a|\alpha<\mathcal{R}e[s]<|a|\beta \]
双边拉氏变换的微积分特性
(1) 时域微分
\[ \mathscr{L}_b[f'(t)]=sF_b(s),\alpha<\mathcal{R}e[s]<\beta \](2) \(s\)域微分
\[ \mathscr{L}_b[(-t)^nf(t)]=F_b^{(n)}(s),\alpha<\mathcal{R}e[s]<\beta \](3) 时域积分
\[ \mathscr{L}_b\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau){\rm d}\tau\right]=\frac{1}{s}F_b(s),\max[\alpha,0]<\mathcal{R}e[s]<\beta \]
双边拉氏变换的卷积定理
(1) 时域卷积定理
若\(\mathscr{L}_b[f_1(t)]=F_1(s),\alpha_1<\mathcal{R}e[s]<\beta_1\), \(\mathscr{L}_b[f_2(t)]=F_2(s),\alpha_2<\mathcal{R}e[s]<\beta_2\), 则
\[ \mathscr{L}_b[f_1(t)*f_2(t)]=F_{b1}(s)\cdot F_{b2}(s),\max[\alpha_1,\alpha_2]<\mathcal{R}e[s]<\min[\beta_1,\beta_2] \](2) 复频域卷积定理
若\(\mathscr{L}_b[f_1(t)]=F_1(s),\alpha_1<\mathcal{R}e[s]<\beta_1\), \(\mathscr{L}_b[f_2(t)]=F_2(s),\alpha_2<\mathcal{R}e[s]<\beta_2\), 则
\[ \mathscr{L}_b[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi j}F_{b1}(s)*F_{b2},\alpha_1+\alpha_2<\mathcal{R}e[s]<\beta_1+\beta_2 \]
常见信号的拉氏变换
非周期信号
单位冲激信号\(f(t)=\delta(t)\)的拉氏变换
\[ \mathscr{L}[\delta(t)]=\mathscr{L}_b[\delta(t)]=1,\mbox{全部}s \]
\[ \mathscr{L}[\delta(t-t_0)]=e^{-st_0},\mbox{全部}s \]
阶跃信号\(f(t)=\varepsilon(t)\)的拉氏变换
\[ \mathscr{L}[\varepsilon(t)]=\frac{1}{s},\mathcal{R}e[s]>0 \]
\[ \mathscr{L}_b[-\varepsilon(-t)]=\frac{1}{s},\mathcal{R}e[s]<0 \]
指数信号\(f(t)=e^{-at}\varepsilon(t)\)的拉氏变换
\[ \mathscr{L}[e^{-at}\varepsilon(t)]=\frac{1}{s+a},\mathcal{R}e[s]>-a \]
\[ \mathscr{L}_b[-e^{-at}\varepsilon(-t)]=\frac{1}{s+a},\mathcal{R}e[s]<-a \]
幂函数\(f(t)=t^n\varepsilon(t)\)的拉氏变换
\[ \mathscr{L}[t^n\varepsilon(t)]=\frac{n}{s}\mathscr{L}[t^{n-1}\varepsilon(t)]=\frac{n!}{s^{n+1}},\mathcal{R}e[s]>0 \]
\[ \mathscr{L}_b[-t^n\varepsilon(-t)]=\frac{n!}{s^{n+1}},\mathcal{R}e[s]<0 \](1) 当\(n=1\)时
\[ \mathscr{L}[t\varepsilon(t)]=\frac{1}{s^2},\mathcal{R}e[s]>0 \](2) 当\(n=2\)时
\[ \mathscr{L}[t^2\varepsilon(t)]=\frac{2}{s^3},\mathcal{R}e[s]>0 \]
正弦信号\(f(t)=\sin\omega t\cdot\varepsilon(t)\)和余弦信号\(f(t)=\cos\omega t\cdot\varepsilon(t)\)的拉氏变换
\[ \mathscr{L}[\sin\omega t\cdot\varepsilon(t)]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\mathcal{R}e[s]>0 \]
\[ \mathscr{L}[\cos\omega t\cdot\varepsilon(t)]=\frac{s}{s^2+\omega^2},\mathcal{R}e[s]>0 \]
双曲正弦信号\(f(t)=sh(\alpha t)\cdot\varepsilon(t)\)和双曲余弦信号\(f(t)=ch(\alpha t)\cdot\varepsilon(t)\)的拉氏变换
\[ sh(\alpha t)=\frac{e^{\alpha t}-e^{-\alpha t}}{2} \]
\[ ch(\alpha t)=\frac{e^{\alpha t}+e^{-\alpha t}}{2} \]
\[ \mathscr{L}[sh(\alpha t)\cdot\varepsilon(t)]=\frac{\alpha}{s^2-\alpha^2},\mathcal{R}e[s]>\alpha \]
\[ \mathscr{L}[ch(\alpha t)\cdot\varepsilon(t)]=\frac{s}{s^2-\alpha^2},\mathcal{R}e[s]>\alpha \]
周期信号与抽样信号
周期冲激序列\(\delta_T(t)\cdot\varepsilon(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT)\)的拉氏变换
\[ \mathscr{L}[\delta_T(t)\cdot\varepsilon(t)]=\frac{1}{1-e^{-sT}},\mathcal{R}e[s]>0 \]
冲激抽样信号\(f_s(t)=f(t)\cdot\delta_T(t)\cdot\varepsilon(t)\)的拉氏变换
抽样信号可表示为
\[ f_s(t)=f(nT)\sum\limits_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT) \]其拉氏变换为
\[ \mathscr{L}[f_s(t)]=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)e^{-snT} \]
周期信号的拉氏变换\(F(s)\)与第一个周期信号的拉氏变换\(F_1(s)\)的关系
\[ F(s)=F_1(s)\frac{1}{1-e^{-sT}},\mathcal{R}e[s]>0 \]
部分分式展开法、电路分析和系统函数
拉氏反变换的部分分式展开法
进行部分分式展开的有理分式必须为真分式
\[ F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{a_ms^m+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots+a_0}{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_0},m<n \]由于分子\(A(s)\)和分母\(B(s)\)是\(s\)的多项式, 故可以因式分解为
\[ A(s)=a_m(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m) \]
\[ B(s)=b_n(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n) \]\(z_1,z_2,\cdots,z_m\)是\(A(s)=0\)的根, 称为\(F(s)\)的零点; \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)是\(B(s)=0\)的根, 称为\(F(s)\)的极点.
(1) 极点为实数, 无重根
\[ F(s)=\frac{A(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots+\frac{K_n}{s-p_n} \]待定系数\(K_1,K_2,\cdots,K_n\)可表示为
\[ K_i=(s-p_i)F(s)\big|_{s=p_i},i=1,2,\cdots,n \]则拉氏反变换为
\[ \begin{aligned} f(t)&=\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{K_1}{s-p_1}\right]+\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{K_2}{s-p_2}\right]+\cdots+\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{K_n}{s-p_n}\right]\\ &=(K_1e^{p_1t}+K_2e^{p_2t}+\cdots+K_ne^{p_nt})\varepsilon(t) \end{aligned} \](2) 极点为共轭复数
\[ F(s)=\frac{A(s)}{D(s)[(s+\alpha)^2+\beta^2]}=\frac{A(s)}{D(s)(s+\alpha-j\beta)(s+\alpha+j\beta)} \]式中, \(D(s)\)表示分母多项式中的其他部分. 若令
\[ F_1(s)=\frac{A(s)}{D(s)} \]则\(F(s)\)可表示为
\[ F(s)=\frac{F_1(s)}{(s+\alpha-j\beta)(s+\alpha+j\beta)}=\frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}+\cdots \]待定系数\(K_1,K_2\)可表示为
\[ K_1=(s+\alpha-j\beta)\cdot F(s)\big|_{s=-\alpha+j\beta}=\frac{F_1(-\alpha+j\beta)}{2j\beta} \]
\[ K_2=(s+\alpha+j\beta)\cdot F(s)\big|_{s=-\alpha-j\beta}=\frac{F_1(-\alpha-j\beta)}{-2j\beta}=K_1^* \]则拉氏反变换为
\[ \begin{aligned} \mathscr{L}^{-1}\left[\frac{K_1}{s+\alpha-j\beta}+\frac{K_2}{s+\alpha+j\beta}\right]&=e^{-\alpha t}[K_1e^{j\beta t}+K_1^*e^{-j\beta t}]\varepsilon(t)\\&=2e^{-\alpha t}[K_{1r}\cos\beta t-K_{1i}\sin\beta t]\varepsilon(t) \end{aligned} \](3) 具有多重极点
\[ F(s)=\frac{A(s)}{(s-p_1)^kD(s)}=\frac{K_{11}}{(s-p_1)^k}+\frac{K_{12}}{(s-p_1)^{k-1}}+\cdots+\frac{K_{1k}}{s-p_1}+\frac{E(s)}{D(s)} \]待定系数\(K_{11},K_{12},\cdots,K_{1k}\)可表示为
\[ K_{1i}=\frac{1}{(i-1)!}\frac{\mathrm{d}^{i-1}}{\mathrm{d}s^{i-1}}F_1(s)\big|_{s=p_1},i=1,2\cdots,k \]
电路元件的\(s\)域阻抗模型
\[ U_R(s)=RI_R(s) \] \[ U_L(s)=sLI_L(s)-Li_L(0^-) \] \[ U_C(s)=\frac{1}{sC}I_C(s)+\frac{1}{s}u_C(0^-) \]
电路元件 \(s\) 域阻抗模型 电阻 \(R\) 电感 \(sL\)；若存在 \(i_L(0^-)\)，则串联等效电压源 \(-Li_L(0^-)\) 电容 \(\dfrac{1}{sC}\)；若存在 \(u_C(0^-)\)，则串联等效电压源 \(\dfrac{u_C(0^-)}{s}\)
电路元件的\(s\)域导纳模型
\[ I_R(s)=\frac{1}{R}U_R(s) \]
\[ I_L(s)=\frac{1}{sL}U_L(s)+\frac{1}{s}i_L(0^-) \]
\[ I_C(s)=sCU_C(s)-Cu_C(0^-) \]
系统函数的名称
激励与响应的位置 名称 响应 激励 函数名称 同一端口 策动点函数（驱动点函数） 电压 电流 策动点阻抗（驱动点阻抗） 电流 电压 策动点导纳（驱动点导纳） 不同端口 传输函数（转移函数） 电压 电流 传输阻抗（转移阻抗） 电流 电压 传输导纳（转移导纳） 电压 电压 电压传输比（转移电压比） 电流 电流 电流传输比（转移电流比）
拉氏变换与傅氏变换的关系
拉氏变换与傅氏变换的关系
(1) 收敛域包括虚轴\(s=j\omega\)
\[ F(j\omega)=F(s)\big|_{s=j\omega} \](2) 收敛域不包括虚轴\(s=j\omega\)
\[ f(t)\mbox{的傅里叶变换不存在} \](3) 收敛域在虚轴\(s=j\omega\)上为临界边
（方法一）利用公式求解
若\(F(s)\)在虚轴上有单极点
\[ F(j\omega)=F(s)\big|_{s=j\omega}+\sum_{n=1}^{N}\pi K_n\delta(\omega-\omega_n) \]若\(F(s)\)在虚轴上有\(r\)重极点
\[ \begin{aligned} F(j\omega)=&F(s)\big|_{s=j\omega}+\frac{\pi K_{11}(j)^{r-1}}{(r-1)!}\delta^{(r-1)}(\omega-\omega_1)+\\ &\frac{\pi K_{12}(j)^{r-2}}{(r-2)!}\delta^{(r-2)}(\omega-\omega_1)+\cdots+\pi K_{1r}\delta(\omega-\omega_1) \end{aligned} \]（方法二）先对\(F(s)\)求拉氏反变换得到\(f(t)\), 再进行傅里叶变换得到\(F(j\omega)\).
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