本文是“离散时间信号处理”系列的第 04 章，主题为“连续时间信号的采样”。

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连续时间信号的采样

采样和重构

C/D转换器

理想C/D转换器的时域表示
\[ x[n]=x_c(t)\big|_{t=nT}=x_c(nT),-\infty<n<\infty \]

连续信号\(x_c(t)\)经过周期冲激串采样后得到冲激抽样信号\(x_s(t)\), 在频域表现为周期延拓
\[ X_s(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c(j\Omega-jk\Omega_s) \]

其中\(\Omega_s=\dfrac{2\pi}{T}\)是采样频率, 以rad/s计.

奈奎斯特采样定理

令\(x_c(t)\)是一个带限信号, 则
\[ X_c(j\Omega)=0,\text{对于}|\Omega|>\Omega_N \]

若\(x_c(t)\)能唯一由它的样本\(x[n]=x_c(nT),n=0,\pm1,\pm2,\cdots\)所决定, 则需要满足
\[ \Omega_s=\frac{2\pi}{T}\geq2\Omega_N \]

频率\(\Omega_N\)一般称为奈奎斯特频率, 而频率\(2\Omega_N\)称为奈奎斯特率.

冲激抽样信号\(x_s(t)\)到离散时间序列\(x[n]\)的转换
\[ \begin{cases} X_s(j\Omega)=X(e^{j\omega})\big|_{\omega=\Omega T}=X(e^{j\Omega T})\\[2pt] X(e^{j\omega})=X_s(j\Omega)\big|_{\Omega=\omega/T}=X_s\left(\dfrac{j\omega}{T}\right) \end{cases} \]

(1) \(X(e^{j\omega})\)是将\(X_s(j\Omega)\)作频率尺度变换的结果, 频率尺度因子由\(\omega=\Omega T\)给出, 使得\(X_s(j\Omega)\)中的\(\Omega=\Omega_s\)归一化到\(X(e^{j\omega})\)中的\(\omega=2\pi\).

(2) 对一个冲激独立变量的加权也就是对其面积加权, 即\(\delta\left(\dfrac{\omega}{T}\right)=T\delta(\omega)\).

理想重构滤波器的增益为\(T\)(用以补偿采样所带来的幅值加权), 截止频率为\(\Omega_c\) (通常取\(\Omega_c=\dfrac{\Omega_s}{2}=\dfrac{\pi}{T}\)). 对于截止频率为\(\dfrac{\pi}{T}\)时相应的冲激响应\(h_r(t)\)就是\(H_r(j\Omega)\)的傅里叶反变换, 即
\[ h_r(t)=\frac{\sin\dfrac{\pi}{T}t}{\dfrac{\pi}{T}t} \]

重构的信号在各采样时刻点上与原连续时间信号有相同的值, 且与采样周期\(T\)无关(混叠仅影响采样点之间的内插).

D/C转换器

连续时间信号的离散时间处理

连续时间信号的离散时间处理

\(y_r(t)\)和\(y[n]\)傅里叶变换之间的关系(D/C转换)
\[ Y_r(j\Omega)=H_r(j\Omega)Y(e^{j\omega})\big|_{\omega=\Omega T}=H_r(j\Omega)Y(e^{j\Omega T}) \]

离散时间系统输入和输出傅里叶变换之间的关系
\[ Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega}) \]

\(x_c(t)\)和\(x[n]\)傅里叶变换之间的关系(C/D转换)
\[ X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left(j\frac{\omega}{T}-j\frac{2\pi k}{T}\right) \]

\(x_c(t)\)和\(y_r(t)\)傅里叶变换之间的关系
\[ \begin{aligned} Y_r(j\Omega)&=H_r(j\Omega)H(e^{j\Omega T})\cdot\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left(j\Omega-j\frac{2\pi k}{T}\right)\\&=\begin{cases} H(e^{j\Omega T})X_c(j\Omega) & |\Omega|<\dfrac{\pi}{T}\\[8pt] 0 & |\Omega|\geq\dfrac{\pi}{T} \end{cases}\\&=H_\mathrm{eff}(j\Omega)X_c(j\Omega) \end{aligned} \]

则等效系统的频率响应为
\[ H_\mathrm{eff}(j\Omega)= \begin{cases} H(e^{j\omega})\big|_{\omega=\Omega T}=H(e^{j\Omega T}) & |\Omega|<\dfrac{\pi}{T}\\[8pt] 0 & |\Omega|\geq\dfrac{\pi}{T} \end{cases} \]

利用离散时间低通滤波器的理想连续时间的低通滤波

离散时间信号的连续时间处理

离散时间信号的连续时间处理

整个系统表现为一个离散时间系统, 其频率响应为
\[ H(e^{j\omega})=H_c(j\Omega)\big|_{\Omega=\omega/T}=H_c\left(j\frac{\omega}{T}\right),|\omega|<\pi \]

非整数延迟

考虑一个离散时间系统, 其频率响应为
\[ H(e^{j\omega})=e^{-j\omega\Delta} \]

当\(\Delta\)是一个整数时, 该系统表示延迟\(\Delta\), 即
\[ h[n]=\delta[n-\Delta] \]

当\(\Delta\)不是整数时, 该系统的单位脉冲响应为
\[ h[n]=\frac{\sin\pi(n-\Delta)}{\pi(n-\Delta)},-\infty<n<\infty \]

当\(\Delta\)不是整数时, \(h[n]\)有无限长; 而当\(\Delta=n_0\)是一个整数时, \(h[n]=\dfrac{\sin\pi(n-n_0)}{\pi(n-n_0)}=\delta[n-n_0]\).

利用离散时间处理改变采样率

采样率按整数因子减小

减采样

采样率压缩器的时域关系
\[ x_d[n]=x[nM]=x_c(nMT) \]

频域关系
\[ \begin{aligned} X_d(e^{j\omega})&=\frac{1}{MT}\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_c\left(j\frac{\omega}{MT}-j\frac{2\pi r}{MT}\right)\\ &=\frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\omega/M−2\pi i/M)}) \end{aligned} \]

(1) 从\(X(e^{j\omega})\)得到\(X_d(e^{j\omega})\): 截止频率\(\times M\), 幅值\(\times\dfrac{1}{M}\).

(2) 以\(M\)因子减采样时不发生混叠的条件
\[ \omega_NM<\pi \]

采样率按整数因子增加

增采样

采样率扩展器的时域关系
\[ \begin{aligned} x_e[n]=&\begin{cases} x\left[\dfrac{n}{L}\right] & n=0,\pm L,\pm2L,\cdots\\[2pt] 0 & \text{其他} \end{cases}\\ =&\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-kL] \end{aligned} \]

频域关系
\[ X_e(e^{j\omega})=X(e^{j\omega L})\quad\text{(频域压缩)} \]

\(x_e[n]\)经过一个增益为\(L\), 截止频率为\(\dfrac{\pi}{L}\)的理想低通内插滤波器得到\(x_i[n]\), 滤波器的单位脉冲响应为
\[ h_i[n]=\frac{\sin\dfrac{\pi}{L}n}{\dfrac{\pi}{L}n} \]

内插后的输出为
\[ x_i[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\frac{\sin\left[\dfrac{\pi(n-kL)}{L}\right]}{\dfrac{\pi(n-kL)}{L}} \]

从\(X(e^{j\omega})\)得到\(X_i(e^{j\omega})\): 截止频率\(\times\dfrac{1}{L}\), 幅值\(\times L\).

滤波和减采样/增采样的互换

基于减采样恒等的两个等效系统基于增采样恒等的两个等效系统

减采样的频域说明

增采样的频域说明

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