信号系统与信号处理补充知识点
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本文整理信号系统与数字信号处理中的若干补充知识点，主要包括分辨率、滤波器设计，以及重叠相加法和重叠保留法。
物理分辨率和频率分辨率
注意：一般题目给出的分辨率 \(\Delta f\) 为对应连续域的分辨率，需要将其换算到离散域的分辨率再进行计算，即 \(\Delta\omega=2\pi\Delta f\cdot T_s\)。
根本法则：区别分辨率主要看处于哪个过程。处于窗截断过程的是频率分辨率，处于 DFT 过程的是物理分辨率。
知识点 1
\(N\) 为 DFT 的点数，与谱分辨率有关；\(M\) 为窗 \(w(n)\) 的长度，与频率分辨率有关。
需要满足 \(N\geqslant M\)。多数情况下 \(N=M\)；若题目未给窗，则默认无需补零，即 \(N=M\)。
知识点 2
最大采样间隔 \(T_s\)：C/D 转换过程中的奈奎斯特采样间隔。
知识点 3
谱分辨率与采样间隔 \(T_s\)、DFT 的点数 \(N\) 有关，即 \(\Delta f=\dfrac{1}{NT_s}\)。
注意：数值越小，分辨率越高；提高一倍即 \(\Delta f\) 变为原来的 \(\dfrac{1}{2}\)。
知识点 4
频率分辨率与窗的主瓣宽度（点数）有关。
知识点 5
最小记录点数 \(P\)：窗的点数 \(M\) 或 DFT 的点数 \(N\)，根据所处过程确定。
- 若同时存在窗截断和 DFT 过程，由于 \(N\geqslant M\)，最小记录长度选择 \(M\)。在 \(N\) 点 DFT 的过程中，大于 \(M\) 点的部分通过补 \(N-M\) 个零来实现。
- 若 DFT 通过 FFT 实现，应当注意 \(N\) 只能选取 2 的幂次。
知识点 6
最小记录长度 \(t_p\)：时域的持续时间，满足 \(t_p\geqslant PT_s\)。
知识点 7
当分辨率不变时，持续时间 \(t_p=PT_s\) 为常数，此时的最小点数与采样间隔成反比。
滤波器设计
知识点 1：区分增益和衰减
通带最大衰减：
\[ A_p(\mathrm{dB})=-20\log_{10}\left(1-\delta_p\right) \]
阻带最小衰减：
\[ A_s(\mathrm{dB})=-20\log_{10}\delta_s \]
衰减为增益的负值。
知识点 2：主瓣宽度与过渡带宽
- 窗的主瓣宽度 \(\Delta\omega_m\) 表现为 \(H\left(e^{j\omega}\right)\) 的正负肩峰之间的过渡带宽度。
- 滤波器的过渡带以 \(\omega_c=\dfrac{\omega_s+\omega_p}{2}\) 为中心，过渡带宽 \(\Delta\omega=\omega_s-\omega_p\)。
- 主瓣宽度大于过渡带宽，但二者的变化趋势相同。
- 过渡带宽 \(\Delta\omega\) 确定窗的点数为“\(M+1\)”，因此过渡带宽由窗长（主瓣宽度）决定。中心不变，两边会根据窗长有所改变；窗长不变时，过渡带宽也由窗的类型决定。
知识点 3
在过渡带中点 \(\omega_c\) 处，\(\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|\) 衰减到 \(\dfrac{1}{2}\)。\(\omega_c\) 不随主瓣宽度、窗长或窗形状改变，它由 IIR 滤波器的截止频率决定。
知识点 4：3 dB 截止频率
3 dB 截止频率为 \(\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|\) 衰减到 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 的位置，其幅度平方函数满足
\[ \left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|^2=\dfrac{1}{2} \]
通带边沿频率的增益为 \(1-\delta_p\)，截止频率通常大于边沿频率。
窗长增大时，主瓣宽度减小，过渡带宽收缩，但中心点 \(\omega_c\) 不变。因此 3 dB 频率点会随着主瓣收缩而更逼近过渡带中心点 \(\omega_c=\dfrac{\omega_s+\omega_p}{2}\)，即 3 dB 点频率增大。
窗长减小时，主瓣宽度增大，过渡带宽扩展，但中心点 \(\omega_c\) 不变。因此 3 dB 频率点会随着主瓣扩展而远离过渡带中心点，即 3 dB 点频率减小。
知识点 5
窗函数的形状由以下四个值决定：阻带最小衰减 \(A_s(\mathrm{dB})\)、通带起伏 \(A_p(\mathrm{dB})\)、主瓣宽度和 \(\beta\)。
知识点 6
同一种类的窗，主瓣和旁瓣的面积是常量，不随窗长 \(M\) 变化，且有相同的吉布斯现象。
推论：旁瓣越高（旁瓣相对幅度不变），主瓣越窄（过渡带越小）。
知识点 7：窗函数与滤波器指标
根本法则：应当将窗函数的旁瓣幅度、旁瓣相对幅度和滤波器的阻带幅度（阻带衰减、波纹幅度）区别开。窗长 \(M\) 能够影响窗函数的旁瓣幅度，但后两者只能由窗的形状决定。
- 旁瓣相对幅度表现为通带幅度峰值和阻带幅度峰值之差。旁瓣相对幅度越大，则阻带衰减越大、通带起伏越小、主瓣越宽（窗形状发生改变）。
- 通带和阻带的起伏形状相同，由窗函数的旁瓣决定。其中，波纹的幅度取决于窗函数的旁瓣相对幅度，波纹的多少取决于旁瓣的多少。
推论：
- 阻带衰减只与窗的形状有关，与窗长无关；\(\beta\) 越大，过渡带宽越大，阻带衰减越大（2015，第 7 题）。
- 高频分量越少，主瓣宽度越大，阻带衰减越大（2014，第 7 题）。
- 通带和阻带中的波纹变慢，以加宽过渡带宽为代价。主瓣宽度增大时，卷积过程中窗函数的进出速度变慢，导致波纹变慢，但是其幅度不发生改变。
知识点 8
矩形窗旁瓣 \(=\) 主瓣 \(\times 0.2239\)（13 dB）。
知识点 9：滤波器设计指标
滤波器设计的第一步是确定离散的技术指标。若技术指标是连续的，则应当用 \(\Omega=\omega T\) 转换成离散指标，然后再通过脉冲响应不变法或者双线性变换法，将数字低通滤波器的指标映射为原型模拟低通滤波器的指标。
重叠相加法和重叠保留法
知识点 1：\(L\)、\(P\)、\(N\) 的关系
- \(P\) 为 \(h(n)\) 的点数，\(L\) 为每一段分块的点数，\(N\) 为 DFT 或 FFT 芯片的点数。
- 重叠相加法满足 \(L+P-1=N\)；重叠保留法满足 \(L=N\)。
- 重叠相加法和重叠保留法每段均重叠 \(P-1\) 点；每段输入的有效点数均为 \(N-P+1\)。
知识点 2：分段数
重叠相加法：
- 分段数：\(\dfrac{L_{\text{总}}}{L}\)
- 每段输入的有效点数：\(L\)
重叠保留法：
- 分段数：\(\dfrac{L_{\text{总}}+P-1}{L-P+1}\)
- 每段输入的有效点数：\(L-P+1\)
计算示例
已知 FIR 滤波器的单位冲激响应
\[ h(n)=\{2,1,3,7\} \]
输入序列为
\[ x(n)=\{4,9,-2,8,0,0,8,1,2,2,7,5,-2,3\} \]
要求每段输入的长度为 5，求滤波器的输出。
重叠相加法
输入序列 \(x(n)\) 的长度为 14，每段输入长度为 5，故将 \(x(n)\) 分为：
\[ \begin{aligned} x_1(n)&=\{4,9,-2,8,0\}\\ x_2(n)&=\{0,8,1,2,2\}\\ x_3(n)&=\{7,5,-2,3,0\} \end{aligned} \]
\(h(n)\) 的点数为 4，故相邻两段输出重叠 3 点。逐段与 \(h(n)\) 进行线性卷积，即 8 点循环卷积：
\[ \begin{aligned} \{8,22,17,69,65,10,56,0\}\qquad&\\ \{0,16,10,29,&65,15,20,14\}\\ &\qquad\{14,17,22,68,32,-5,21,0\} \end{aligned} \]
重叠相加后得到：
\[ y(n)=\{8,22,17,69,65,10,72,10,29,65,29,37,36,68,32,-5,21,0\} \]
重叠保留法
此时不能认为每段输入长度为 5，而应当理解为每段输入的“有效点数”为 5。通过 \(L-P+1=5\) 可确定每段输入长度为 8，故将 \(x(n)\) 分为：
\[ \begin{aligned} x_1(n)&=\{0,0,0,4,9,-2,8,0\}\\ x_2(n)&=\{-2,8,0,0,8,1,2,2\}\\ x_3(n)&=\{1,2,2,7,5,-2,3,0\}\\ x_4(n)&=\{-2,3,0,0,0,0,0,0\} \end{aligned} \]
注意 \(x_1(n)\) 前 3 位补零，且分段数为
\[ \dfrac{L_{\text{总}}+P-1}{L-P+1} =\dfrac{14+4-1}{5} =4 \]
\(h(n)\) 的点数为 4，故相邻两段输出重叠 3 点。逐段与 \(h(n)\) 进行 8 点循环卷积：
\[ \begin{aligned} \{10,56,0,8,22,17,69,65\}\qquad&\\ \{11,34,16,10,72,10,&29,65\}\\ \{-3,&26,9,29,37,36,68,32\}\\ &\qquad\{ -4,4,-3,-5,21,0,0,0\} \end{aligned} \]
每段输出舍去前 3 点后得到：
\[ y(n)=\{8,22,17,69,65,10,72,10,29,65,29,37,36,68,32,-5,21,0\} \]